Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分線，過(guò)A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE。

（1）求證：AC＝AE；

（2）求△ACD外接圓的半徑。

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）由∠ACB＝90°可得AD為直徑，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得弧CD=弧DE，即得弧AC=弧AE，從而得到結(jié)果；

（2）先根據(jù)勾股定理求得AB的長(zhǎng)，即可求得BE的長(zhǎng)，根據(jù)圓周角定理可得∠AED=∠ACB=90°，再結(jié)合公共角∠B即可證得△ABC∽△DBE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)果.

（1）∵∠ACB＝90°

∴AD為直徑     

又∵AD是△ABC的角平分線

∴弧CD=弧DE

∴弧AC=弧AE

∴AC＝AE；

（2）∵AC=5，CB=12，

∴AB=

∵AE=AC=5

∴BE=AB-AE=13-5=8

∵AD是直徑

∴∠AED=∠ACB=90°

∵∠B=∠B

∴△ABC∽△DBE

∴

∴ DE＝

∴AD＝

∴△ACD外接圓的半徑為.

考點(diǎn)：角平分線的性質(zhì)，勾股定理，圓周角定理，相似三角形的判定和性質(zhì)

點(diǎn)評(píng)：相似三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用是初中數(shù)學(xué)極為重要的知識(shí)，與各個(gè)知識(shí)點(diǎn)聯(lián)系極為容易，因而是中考的熱點(diǎn)，在各種題型中均有出現(xiàn)，尤其在壓軸題中比較常見，難度較大，需特別注意.