Question

16．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，a）（其中a＞4），射線(xiàn)OA與反比例函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象交于點(diǎn)P，點(diǎn)B、C分別在函數(shù)y=$\frac{12}{x}$的圖象上，且AB∥x軸，AC∥y 軸；
（1）當(dāng)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為2，求直線(xiàn)AO的表達(dá)式；
（2）連接CO，當(dāng)AC=CO時(shí)，求點(diǎn)A坐標(biāo)；
（3）連接BP、CP，試猜想：$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值是否隨a的變化而變化？如果不變，求出$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值；如果變化，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）把x=2代入反比例解析式求出y的值，確定出P坐標(biāo)，將P坐標(biāo)代入直線(xiàn)AO解析式y(tǒng)=kx，求出k的值，即可確定出解析式；
（2）連接CO，如圖1所示，由AC與y軸平行，得到A與C橫坐標(biāo)相同，確定出C坐標(biāo)，求出OC的長(zhǎng)，即為AC的長(zhǎng)，列出方程，求出解即可確定出A坐標(biāo)；
（3）$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值不變，理由為：如圖2，過(guò)C點(diǎn)向y軸作垂線(xiàn)交OA于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，連接BP，CP，根據(jù)A坐標(biāo)表示出直線(xiàn)OC解析式，進(jìn)而表示出D坐標(biāo)，以及B坐標(biāo)，得到四邊形ABCD為矩形，進(jìn)而得到BE=CF，利用同底等高三角形面積相等即可求出所求之比．

解答 解：（1）當(dāng)x=2時(shí)，y=$\frac{12}{2}$=6，
∴P（2，6），
設(shè)直線(xiàn)AO的解析式為y=kx，
代入P（2，6）得k=3，
則直線(xiàn)AO的解析式為y=3x；
（2）如圖1，連接OC，

由AC∥y軸，得C點(diǎn)橫坐標(biāo)為3．
當(dāng)x=3時(shí)，y=4，
∴C（3，4），即OC=$\sqrt{{3}^{2}{+4}^{2}}$=5，
∵AC=OC，
∴a-4=5，即a=9，
∴A（3，9）；
（3）$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{△ACP}}$的值不變，理由為：
如圖2，過(guò)C點(diǎn)向y軸作垂線(xiàn)交OA于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥AD，CF⊥AD，垂足分別為E、F，連接BP，CP，

∵直線(xiàn)OA的解析式為y=$\frac{a}{3}$x，
∴D點(diǎn)的坐標(biāo)為（$\frac{12}{a}$，4），
∵AB∥x軸，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（$\frac{12}{a}$，a）．
∴CD∥x軸，
∴四邊形ABCD是矩形，
∴B、C到對(duì)角線(xiàn)AD的距離相等，即BE=CF，
∴△ABP與△ACP是同底等高的兩個(gè)三角形，它們面積相等，
則$\frac{{S}_{△ABP}}{{S}_{ACP}}$=1．

點(diǎn)評(píng) 此題屬于反比例函數(shù)綜合題，涉及的知識(shí)有：待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式，矩形的判定與性質(zhì)，三角形的面積求法，以及坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．