Question

12．如圖，已知雙曲線y=$\frac{k}{x}$（k≠0）與正比例函數(shù)y=mx（m≠0）交于A、C兩點，以AC為邊作等邊三角形ACD，且S_△ACD=20$\sqrt{3}$，再以AC為斜邊作直角三角形ABC，使AB∥y軸，連接BD．若△ABD的周長比△BCD的周長多4，則k=（　�。�

• A． 2
• B． 4
• C． 6
• D． 8

Answer 1

分析 根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出其邊長，再利用勾股定理得出BC，AB的長，進而結(jié)合反比例函數(shù)的性質(zhì)得出k的值．

解答 解：∵以AC為邊作等邊三角形ACD，且S_△ACD=20$\sqrt{3}$，
∴設(shè)AC的長為x，則AC邊上的高為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，
故$\frac{1}{2}$x×$\frac{\sqrt{3}}{2}$x=20$\sqrt{3}$，
解得：x=4$\sqrt{5}$（負數(shù)舍去），
即AC=4$\sqrt{5}$，
∵△ABD的周長比△BCD的周長多4，
由AD=DC，BD是公共邊，
∴AB-BC=4，
設(shè)BC=y，則AB=4+y，
故y²+（4+y）²=（4$\sqrt{5}$）²，
解得：y₁=4，y₂=-8（不合題意舍去），
∴BC=4，AB=8，
由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得：AO=CO，
∵OE∥BC，
∴△AOE∽△ACB，
∴$\frac{OE}{BC}$=$\frac{AE}{AB}$=$\frac{1}{2}$，
則EO=2，AE=4，
故k=2×4=8．
故選：D．

點評 此題主要考查了反比例函數(shù)綜合以及相似三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識，正確得出AC的長是解題關(guān)鍵．