Question

平面直角坐標系中，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點（點在點的左邊），與軸交于點，其頂點的橫坐標為1，且過點和．

(1）求此二次函數(shù)的表達式；

(2）若直線與線段交于點（不與點重合），則是否存在這樣的直線，使得以為頂點的三角形與相似？若存在，求出該直線的函數(shù)表達式及點的坐標；若不存在，請說明理由；

(3）若點是位于該二次函數(shù)對稱軸右邊圖象上不與頂點重合的任意一點，試比較銳角與的大�。ú槐刈C明），并寫出此時點的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

答案：

分析：（1）已知了拋物線的頂點橫坐標為1，即x=-

b

2a

=1，將已知的兩點坐標代入拋物線中，聯(lián)立三式即可求出拋物線的解析式．
（2）本題要分兩種情況討論：△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，解題思路都是通過相似三角形得出的關(guān)于BD、BC、BO、BA的比例關(guān)系式求出BD的長，然后根據(jù)∠OBC=45°的特殊條件用BD的長求出D點的坐標．
（3）本題求解的關(guān)鍵是找出幾個特殊位置．
①由于∠PCO是銳角，因此要先找出∠PCO是直角時的值，以此來確定P的大致取值范圍．去C關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點C′（2，3），那么當P、C′重合時，∠PCO=90°，因此∠PCO若為銳角，則P點的橫坐標必大于2．
②當∠PCO=∠ACO時，根據(jù)A點的坐標和拋物線對稱軸的解析式可知：∠ACO=∠ECO，因此直線CE與拋物線的交點（除C外）就是此時P點的位置．據(jù)此可求出此時P點的橫坐標．
根據(jù)上面兩種情況進行判定即可．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)圖象頂點的橫坐標為1，且過點（2，3）和（-3，-12），
∴由

- b 2a =1 4a+2b+c=3 9a-3b+c=-12

解得

a=-1 b=2 c=3

．
∴此二次函數(shù)的表達式為y=-x2+2x+3．

（2）假設存在直線l：y=kx（k≠0）與線段BC交于點D（不與點B，C重合），使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似．
在y=-x2+2x+3中，令y=0，則由-x2+2x+3=0，
解得x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．
令x=0，得y=3．
∴C（0，3）．
設過點O的直線l交BC于點D，過點D作DE⊥x軸于點E．
∵點B的坐標為（3，0），點C的坐標為（0，3），點A的坐標為（-1，0）．
∴|AB|=4，|OB|=|OC|=3，∠OBC=45°．
∴|BC|=

32+32

=3

2

．
要使△BOD∽△BAC或△BDO∽△BAC，
已有∠B=∠B，則只需

|BD|

|BC|

=

|BO|

|BA|

，①或

|BO|

|BC|

=

|BD|

|BA|

②成立．
若是①，則有|BD|=

|BO|?|BC|

|BA|

=

3×3 2

4

=

9 2

4

．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（

9 2

4

）2．
解得|BE|=|DE|=

9

4

（負值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-

9

4

=

3

4

．
∴點D的坐標為（

3

4

，

9

4

）．
將點D的坐標代入y=kx（k≠0）中，求得k=3．
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達式為y=3x．
或求出直線AC的函數(shù)表達式為y=3x+3，則與直線AC平行的直線l的函數(shù)表達式為y=3x．
此時易知△BOD∽△BAC，再求出直線BC的函數(shù)表達式為y=-x+3．聯(lián)立y=3x，y=-x+3求得點D的坐標為（

3

4

，

9

4

）．
若是②，則有|BD|=

|BO|?|BA|

|BC|

=

3×4

3 2

=2

2

．
而∠OBC=45°，
∴|BE|=|DE|．
∴在Rt△BDE中，由勾股定理，
得|BE|2+|DE|2=2|BE|2=|BD|2=（2

2

）2．
解得|BE|=|DE|=2（負值舍去）．
∴|OE|=|OB|-|BE|=3-2=1．
∴點D的坐標為（1，2）．
將點D的坐標代入y=kx（k≠0）中，求得k=2．
∴滿足條件的直線l的函數(shù)表達式為y=2x．
∴存在直線l：y=3x或y=2x與線段BC交于點D（不與點B，C重合），
使得以B，O，D為頂點的三角形與△BAC相似，且點D的坐標分別為（

3

4

，

9

4

）或（1，2）．

（3）設過點C（0，3），E（1，0）的直線y=kx+3（k≠0）與該二次函數(shù)的圖象交于點P．
將點E（1，0）的坐標代入y=kx+3中，
求得k=-3．
∴此直線的函數(shù)表達式為y=-3x+3．
設點P的坐標為（x，-3x+3），
并代入y=-x2+2x+3，得x2-5x=0．
解得x1=5，x2=0（不合題意，舍去）．
∴x=5，y=-12．
∴點P的坐標為（5，-12）．
此時，銳角∠PCO=∠ACO．
又∵二次函數(shù)的對稱軸為x=1，
∴點C關(guān)于對稱軸對稱的點C'的坐標為（2，3）．
∴當xp＞5時，銳角∠PCO＜∠ACO；
當xp=5時，銳角∠PCO=∠ACO；
當2＜xp＜5時，銳角∠PCO＞∠ACO．

點評：本題是二次函數(shù)綜合體，考查了二次函數(shù)解析式的確定、相似三角形的判定、函數(shù)圖象交點等知識點．綜合性強．