Question

如圖1，已知⊙O的半徑為

3

，正方形ABCD的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），頂點(diǎn)A在⊙O上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)C在x軸上方．
（1）當(dāng)點(diǎn)A在x軸上時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）點(diǎn)A在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在直線AB與⊙O相切的位置關(guān)系？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)C的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到第二象限時(shí)，設(shè)AB交⊙O于點(diǎn)P，當(dāng)sin∠CBX=

3

4

時(shí)，求弦AP的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：圓的綜合題

專題：

分析：（1）利用A點(diǎn)在y軸右側(cè)或左側(cè)分別分析得出即可；
（2）利用已知C點(diǎn)在x軸上方，符合題意的只有一種情況，再利用銳角三角函數(shù)關(guān)系求出FO、FC的長(zhǎng)進(jìn)而得出答案；
（3）利用sin∠CBX=

3

4

，得出sin∠MOB=

3

4

，進(jìn)而求出OM，MP的長(zhǎng)，進(jìn)而得出答案．

解答：解：（1）如圖1，∵⊙O的半徑為

3

，正方形ABCD的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
∴當(dāng)點(diǎn)A在x軸上時(shí)，BO=2，BC=2-

3

，
∴點(diǎn)C（2，2-

3

）
如圖2，∵⊙O的半徑為

3

，正方形ABCD的頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，0），
∴當(dāng)點(diǎn)A在x軸上時(shí)，BO=2，AB=BC=2+

3

，
∴點(diǎn)C（2，2+

3

）
綜上所述：C（2，2-

3

）或（2，2+

3

）；

（2）如圖3，

當(dāng)直線AB與⊙O相切于點(diǎn)A，過點(diǎn)A作AE⊥OB于點(diǎn)E，過點(diǎn)C作CF⊥OB于點(diǎn)F，
則∠OAB=90°，
∵BO=2，AO=

3

，
∴AB=1，
∴∠AOE=30°，
∴AE=

3

2

，
∴BE=

1

2

，
∴∠ABE=60°，
∴∠CBF=30°，
∴FC=

1

2

，BF=

3

2

，
∴FO=2+

3

2

，
∴C （2+

3

2

，

1

2

）；

（3）如圖4，

作OM⊥AB于M，連結(jié)OP．
∵OM∥BC，
∴∠MOB=∠CBx．
又∵sin∠CBx=

3

4

，
∴sin∠MOB=

3

4

．
∵OB=2，
∴BM=

3

2

，
∴OM=

OB2-BM2

=

7

2

．
又∵OP=

3

，
∴MP=

OP2-OM2

=

5

2

，
∴AP=2MP=

5

．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓的綜合應(yīng)用以及銳角三角函數(shù)關(guān)系和勾股定理等知識(shí)，動(dòng)態(tài)問題，綜合性較強(qiáng)，凸現(xiàn)對(duì)學(xué)生的運(yùn)動(dòng)探究、問題解決能力的考查．問題簡(jiǎn)潔且清新?lián)涿妫�消除學(xué)生解最后一題的恐懼心理．增加學(xué)生的參與面，能力立意，全新創(chuàng)作，揭示數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)，不必搞題海戰(zhàn)術(shù)．