Question

如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點P從點A開始沿x軸向點O以1cm/s的速度移動，點Q從點O開始沿y軸向點B以2cm/s的速度移動，且OA=6cm，OB=12cm．如果P，Q分別從A，O同時出發(fā)．
（1）設(shè)△POQ的面積等于y，運(yùn)動時間為x，寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系，并求出面積的最大值；
（2）幾秒后△POQ與△AOB相似．

Answer 1

解：（1）由圖形得：△POQ為直角三角形，
∵OA=6cm，
∴OP=（6-t）cm，OQ=2tcm，
則y=（6-t）•2t=-t²+6t=-（t-3）²+9，
∵-1＜0，此二次函數(shù)為開口向下的拋物線，有最大值，
∴當(dāng)x=3時，y_最大值=9；

（2）分兩種情況：
當(dāng)PQ∥AB時，∠PQO=∠ABO，∠QPO=∠BAO，
∴△OPQ∽△OAB，
∴=，即，解得x=3；
當(dāng)∠PQO=∠BAO，∠ABO=∠QPO時，△POQ∽△BOA，
∴=，即，解得x=．
綜上，當(dāng)x=3或x=秒后，△POQ與△AOB相似．
分析：（1）由圖形得到△POQ為直角三角形，要求此三角形的面積只需表示出兩直角邊OP和OQ，由時間為xs，根據(jù)P與Q的速度，分別表示出兩點走過的路程OQ和AP，由OA的長減去AP的長即可表示出OP的長，然后利用三角形的面積公式即可列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，配方后根據(jù)a小于0，拋物線開口向下得到函數(shù)有最大值，當(dāng)t為頂點橫坐標(biāo)時，y的最大值為頂點縱坐標(biāo)，即為面積的最大值；
（2）根據(jù)題意存在兩種情況使△POQ與△AOB相似，一是PQ與AB平行時，得到兩對同位角相等，故兩三角形相似，利用相似得比例即可列出關(guān)于t的方程，求出方程的解即可得到時間t；二是當(dāng)∠PQO=∠BAO，∠ABO=∠QPO時，△POQ與△BOA相似，再根據(jù)相似得比例列出關(guān)于t的另一個方程，求出方程的解即可得到時間t的值，綜上，得到所有滿足題意的t的值使兩三角形相似．
點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及二次函數(shù)的最值．學(xué)生在作第二問時注意利用分類討論的思想，分兩種情況考慮兩三角形相似，從而得到滿足題意的時間t的兩個解．