Question

4．找規(guī)律：觀察下面一列數(shù)．探求其規(guī)律：4，7，10，13，16，19，22，…
（1）第n個數(shù)是3n+1：
（2）在這列數(shù)中，是否存在連續(xù)三個數(shù)的和是99？若存在．求出這三個數(shù)；若不存在．說明理由．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知得如下規(guī)律：
第1個數(shù)：4=1×3+1
第2個數(shù)：7=2×3+1
第3個數(shù)：10=3×3+1
第4個數(shù)：13=4×3+1
第5個數(shù)：16=5×3+1
第6個數(shù)：19=6×3+1
第7個數(shù)：22=7×3+1
因此得出第n個數(shù)為3n+1
（2）可以利用反證法，首先假設存在這樣的三個數(shù)和為99，利用連續(xù)數(shù)之間相差3，可以設出三個數(shù)為：m-3、m、m+3，求出m值，再利用第一問求得第n個數(shù)的通項公式求得n值為分數(shù)．與n為正整數(shù)相矛盾，從而證得這列數(shù)中，不存在連續(xù)三個數(shù)的和是99．

解答 （1）解：根據(jù)已知4，7，10，13，16，19，22，…
得如下規(guī)律：
第1個數(shù)：4=1×3+1
第2個數(shù)：7=2×3+1
第3個數(shù)：10=3×3+1
第4個數(shù)：13=4×3+1
第5個數(shù)：16=5×3+1
第6個數(shù)：19=6×3+1
第7個數(shù)：22=7×3+1
…
第n個數(shù)：n×3+1
∴第n個數(shù)為3n+1
故答案為：3n+1
（2）不存在，
理由如下：
假設在這列數(shù)中存在這樣的三個數(shù)和為99，
設三個數(shù)為：m-3、m、m+3，
∴m-3+m+m+3=99
得m=33
令3n+1=33
解得n=$\frac{32}{3}$．
∵n為項數(shù)，必須為正整數(shù)，
∴n=$\frac{32}{3}$不符合題意，
∴假設不成立
故在這列數(shù)中，不存在連續(xù)三個數(shù)的和是99．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式，本題可以將每個數(shù)字分析可以得出他們相同規(guī)律為3×n+1，同時也考察反證法．題目第一問較簡單，第二問有些難度，可以很好地考查學生的智慧，也體現(xiàn)出數(shù)學的概括性和美麗．