Question

如圖，已知直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=

1

2

x²交于A，B兩點(diǎn)．

（1）直線AB總經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)C，請(qǐng)直接出點(diǎn)C坐標(biāo)；
（2）當(dāng)k=-

1

2

時(shí)，在直線AB下方的拋物線上求點(diǎn)P，使△ABP的面積等于5；
（3）若在拋物線上存在定點(diǎn)D使∠ADB=90°，求點(diǎn)D到直線AB的最大距離．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題,解一元二次方程-因式分解法,根與系數(shù)的關(guān)系,勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：壓軸題

分析：（1）要求定點(diǎn)的坐標(biāo)，只需尋找一個(gè)合適x，使得y的值與k無(wú)關(guān)即可．
（2）只需聯(lián)立兩函數(shù)的解析式，就可求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)．設(shè)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，運(yùn)用割補(bǔ)法用a的代數(shù)式表示△APB的面積，然后根據(jù)條件建立關(guān)于a的方程，從而求出a的值，進(jìn)而求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
（3）設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，從條件∠ADB=90°出發(fā)，可構(gòu)造k型相似，從而得到m、n、t的等量關(guān)系，然后利用根與系數(shù)的關(guān)系就可以求出t，從而求出點(diǎn)D的坐標(biāo)．由于直線AB上有一個(gè)定點(diǎn)C，容易得到DC長(zhǎng)就是點(diǎn)D到AB的最大距離，只需構(gòu)建直角三角形，利用勾股定理即可解決問(wèn)題．

解答：解：（1）∵當(dāng)x=-2時(shí)，y=（-2）k+2k+4=4．
∴直線AB：y=kx+2k+4必經(jīng)過(guò)定點(diǎn)（-2，4）．
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（-2，4）．

（2）∵k=-

1

2

，
∴直線的解析式為y=-

1

2

x+3．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+3 y= 1 2 x2

，
解得：

x=-3 y= 9 2

或

x=2 y=2

．
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-3，

9

2

），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2，2）．
過(guò)點(diǎn)P作PQ∥y軸，交AB于點(diǎn)Q，
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥PQ，垂足為M，
過(guò)點(diǎn)B作BN⊥PQ，垂足為N，如圖1所示．

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為a．
∴y_P=

1

2

a²，y_Q=-

1

2

a+3．
∵點(diǎn)P在直線AB下方，
∴PQ=y_Q-y_P
=-

1

2

a+3-

1

2

a²
∵AM+NB=a-（-3）+2-a=5．
∴S_△APB=S_△APQ+S_△BPQ
=

1

2

PQ•AM+

1

2

PQ•BN
=

1

2

PQ•（AM+BN）
=

1

2

（-

1

2

a+3-

1

2

a²）•5
=5．
整理得：a²+a-2=0．
解得：a₁=-2，a₂=1．
當(dāng)a=-2時(shí)，y_P=

1

2

×（-2）²=2．
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）．
當(dāng)a=1時(shí)，y_P=

1

2

×1²=

1

2

．
此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，

1

2

）．
∴符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-2，2）或（1，

1

2

）．

（3）過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線EF，
作AE⊥EF，垂足為E，
作BF⊥EF，垂足為F，如圖2．

∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AED=∠BFD=90°．
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF．
∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，
∴△AED∽△DFB．
∴

AE

DF

=

ED

FB

．
設(shè)點(diǎn)A、B、D的橫坐標(biāo)分別為m、n、t，
則點(diǎn)A、B、D的縱坐標(biāo)分別為

1

2

m²、

1

2

n²、

1

2

t²．
AE=y_A-y_E=

1

2

m²-

1

2

t²．
BF=y_B-y_F=

1

2

n²-

1

2

t²．
ED=x_D-x_E=t-m，
DF=x_F-x_D=n-t．
∵

AE

DF

=

ED

FB

，
∴

1 2 m2- 1 2 t2

n-t

=

t-m

1 2 n2- 1 2 t2

．
∴

(m+t)(m-t)

2(n-t)

=

2(t-m)

(n+t)(n-t)

．
∵t≠m，t≠n，
∴

m+t

2

=

-2

n+t

去分母并整理得：mn+（m+n）t+t²+4=0．
∵點(diǎn)A、B是直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=

1

2

x²交點(diǎn)，
∴m、n是方程kx+2k+4=

1

2

x²即x²-2kx-4k-8=0兩根．
∴m+n=2k，mn=-4k-8．
∴-4k-8+2kt+t²+4=0，
即t²+2kt-4k-4=0．
即（t-2）（t+2k+2）=0．
∴t₁=2，t₂=-2k-2（舍）．
∴定點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，2）．
過(guò)點(diǎn)D作x軸的平行線DG，
過(guò)點(diǎn)C作CG⊥DG，垂足為G，如圖3所示．

∵點(diǎn)C（-2，4），點(diǎn)D（2，2），
∴CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4．
∵CG⊥DG，
∴DC=

GC2+DG2

=

22+42

=

20

=2

5

．
過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB，垂足為H，如圖3所示，
∴DH≤DC．
∴DH≤2

5

．
∴當(dāng)DH與DC重合即DC⊥AB時(shí)，
點(diǎn)D到直線AB的距離最大，最大值為2

5

．
∴點(diǎn)D到直線AB的最大距離為2

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了解方程組、解一元二次方程、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系、勾股定理、相似三角形的性質(zhì)與判定等知識(shí)，考查了通過(guò)解方程組求兩函數(shù)交點(diǎn)坐標(biāo)、用割補(bǔ)法表示三角形的面積等方法，綜合性比較強(qiáng)．構(gòu)造K型相似以及運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系是求出點(diǎn)D的坐標(biāo)的關(guān)鍵，點(diǎn)C是定點(diǎn)又是求點(diǎn)D到直線AB的最大距離的突破口．