Question

如圖，已知直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=

1

2

x²交于A，B兩點．

（1）直線AB總經過一個定點C，請直接出點C坐標；
（2）當k=-

1

2

時，在直線AB下方的拋物線上求點P，使△ABP的面積等于5；
（3）若在拋物線上存在定點D使∠ADB=90°，求點D到直線AB的最大距離．

Answer 1

考點：二次函數綜合題,解一元二次方程-因式分解法,根與系數的關系,勾股定理,相似三角形的判定與性質

專題：壓軸題

分析：（1）要求定點的坐標，只需尋找一個合適x，使得y的值與k無關即可．
（2）只需聯(lián)立兩函數的解析式，就可求出點A、B的坐標．設出點P的橫坐標為a，運用割補法用a的代數式表示△APB的面積，然后根據條件建立關于a的方程，從而求出a的值，進而求出點P的坐標．
（3）設點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t，從條件∠ADB=90°出發(fā)，可構造k型相似，從而得到m、n、t的等量關系，然后利用根與系數的關系就可以求出t，從而求出點D的坐標．由于直線AB上有一個定點C，容易得到DC長就是點D到AB的最大距離，只需構建直角三角形，利用勾股定理即可解決問題．

解答：解：（1）∵當x=-2時，y=（-2）k+2k+4=4．
∴直線AB：y=kx+2k+4必經過定點（-2，4）．
∴點C的坐標為（-2，4）．

（2）∵k=-

1

2

，
∴直線的解析式為y=-

1

2

x+3．
聯(lián)立

y=- 1 2 x+3 y= 1 2 x2

，
解得：

x=-3 y= 9 2

或

x=2 y=2

．
∴點A的坐標為（-3，

9

2

），點B的坐標為（2，2）．
過點P作PQ∥y軸，交AB于點Q，
過點A作AM⊥PQ，垂足為M，
過點B作BN⊥PQ，垂足為N，如圖1所示．

設點P的橫坐標為a，則點Q的橫坐標為a．
∴y_P=

1

2

a²，y_Q=-

1

2

a+3．
∵點P在直線AB下方，
∴PQ=y_Q-y_P
=-

1

2

a+3-

1

2

a²
∵AM+NB=a-（-3）+2-a=5．
∴S_△APB=S_△APQ+S_△BPQ
=

1

2

PQ•AM+

1

2

PQ•BN
=

1

2

PQ•（AM+BN）
=

1

2

（-

1

2

a+3-

1

2

a²）•5
=5．
整理得：a²+a-2=0．
解得：a₁=-2，a₂=1．
當a=-2時，y_P=

1

2

×（-2）²=2．
此時點P的坐標為（-2，2）．
當a=1時，y_P=

1

2

×1²=

1

2

．
此時點P的坐標為（1，

1

2

）．
∴符合要求的點P的坐標為（-2，2）或（1，

1

2

）．

（3）過點D作x軸的平行線EF，
作AE⊥EF，垂足為E，
作BF⊥EF，垂足為F，如圖2．

∵AE⊥EF，BF⊥EF，
∴∠AED=∠BFD=90°．
∵∠ADB=90°，
∴∠ADE=90°-∠BDF=∠DBF．
∵∠AED=∠BFD，∠ADE=∠DBF，
∴△AED∽△DFB．
∴

AE

DF

=

ED

FB

．
設點A、B、D的橫坐標分別為m、n、t，
則點A、B、D的縱坐標分別為

1

2

m²、

1

2

n²、

1

2

t²．
AE=y_A-y_E=

1

2

m²-

1

2

t²．
BF=y_B-y_F=

1

2

n²-

1

2

t²．
ED=x_D-x_E=t-m，
DF=x_F-x_D=n-t．
∵

AE

DF

=

ED

FB

，
∴

1 2 m2- 1 2 t2

n-t

=

t-m

1 2 n2- 1 2 t2

．
∴

(m+t)(m-t)

2(n-t)

=

2(t-m)

(n+t)(n-t)

．
∵t≠m，t≠n，
∴

m+t

2

=

-2

n+t

去分母并整理得：mn+（m+n）t+t²+4=0．
∵點A、B是直線AB：y=kx+2k+4與拋物線y=

1

2

x²交點，
∴m、n是方程kx+2k+4=

1

2

x²即x²-2kx-4k-8=0兩根．
∴m+n=2k，mn=-4k-8．
∴-4k-8+2kt+t²+4=0，
即t²+2kt-4k-4=0．
即（t-2）（t+2k+2）=0．
∴t₁=2，t₂=-2k-2（舍）．
∴定點D的坐標為（2，2）．
過點D作x軸的平行線DG，
過點C作CG⊥DG，垂足為G，如圖3所示．

∵點C（-2，4），點D（2，2），
∴CG=4-2=2，DG=2-（-2）=4．
∵CG⊥DG，
∴DC=

GC2+DG2

=

22+42

=

20

=2

5

．
過點D作DH⊥AB，垂足為H，如圖3所示，
∴DH≤DC．
∴DH≤2

5

．
∴當DH與DC重合即DC⊥AB時，
點D到直線AB的距離最大，最大值為2

5

．
∴點D到直線AB的最大距離為2

5

．

點評：本題考查了解方程組、解一元二次方程、一元二次方程根與系數的關系、勾股定理、相似三角形的性質與判定等知識，考查了通過解方程組求兩函數交點坐標、用割補法表示三角形的面積等方法，綜合性比較強．構造K型相似以及運用根與系數的關系是求出點D的坐標的關鍵，點C是定點又是求點D到直線AB的最大距離的突破口．