Question

“神算子”的機(jī)器人具有圖形處理能力，它參加了一次游戲活動(dòng)，該活動(dòng)在一Rt△ABC的場(chǎng)地上進(jìn)行，∠C=90°，∠B=30°，P是Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)P到AB、BC、CA的距離分別為20m，10m，20m．游戲規(guī)則是：機(jī)器人從點(diǎn)P出發(fā)，先到達(dá)邊AB，再到邊C或CA中的一條，最后回到出發(fā)點(diǎn)P停止，游戲結(jié)束，所用時(shí)間最短者勝．若“神算子”的速度為10m/s，求其最好成績(jī)．

Answer 1

解：過(guò)點(diǎn)P分別作關(guān)于AB、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P₁、P₂，連接PP₁、PP₂分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接P₁P₂分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，則PP₁⊥AB，PD=P₁D，PM=P₁M，
故∠PDA=90°，PP₁=2PD=40m，
同理，∠PEA=90°，PP₂=40m，PN=P₂N，
易知∠A=60°，
因此∠DPE=360°-∠PDA-∠A-∠PEA=120°
即∠P₁PP₂=120°而PP₁=PP₂=40
所以P₁P₂=40m
則△PMN的周長(zhǎng)為：PM+MN+NP=P₁M+MN+NP₂=P₁P₂=40m
故“神算子”所花時(shí)間為40÷10=4（s）
若“神算子”先到達(dá)AB，再到達(dá)BC，最后回到出發(fā)點(diǎn)P，同理可得，所花時(shí)間為2s．
4=2＜2
所以“神算子”最短時(shí)間為4s．
故答案為：4s．
分析：過(guò)點(diǎn)P分別作關(guān)于AB、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P₁、P₂，連接PP₁、PP₂分別交AB、AC于點(diǎn)D、E，連接P₁P₂分別交AB、AC于點(diǎn)M、N，由四邊形內(nèi)角和定理可求出∠DPE的度數(shù)，由余弦定理可求出P₁P₂的長(zhǎng)，由神算子的速度可求出神算子先到AB再到AC最后回到P點(diǎn)時(shí)所用的時(shí)間；同理可求出“神算子”先到達(dá)AB，再到達(dá)BC，最后回到出發(fā)點(diǎn)P，所花時(shí)間，再把兩時(shí)間進(jìn)行比較取較小的一個(gè)數(shù)即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是最短路線問(wèn)題，解答此題的關(guān)鍵是根據(jù)題意作出P點(diǎn)關(guān)于AB、AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解答．