Question

如圖，點O在∠APB的平分線上，⊙O與PA邊相切于點C，
（1）求證：PB是⊙O的切線；
（2）PO的延長線交⊙O于E，EA⊥PA于A．設PE交⊙O于另一點G，AE交⊙O于點F，連接FG，若⊙O的半徑是3，，
①求弦CE的長；②求的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OC，過點O作OD⊥PB于點D，根據切線的定義可得OC⊥PA，根據角平分線上的點到角的兩邊的距離相等可得OC=OD，再根據切線的定義判定即可；
（2）①連接CG，根據垂直的定義可得∠AEC+∠ECA=90°，再根據切線的定義可得OC⊥PA，然后求出∠OCE+∠EAC=90°，然后求出∠OCE=∠CEA，再根據等邊對等角可得∠OCE=∠OEC，從而得到∠AEC=∠CEG，再根據直徑所對的圓周角是直角求出∠ECG=90°，然后利用∠AEC和∠CEG的正切值相等列式求解即可得到=，然后設CG=x，表示出CE=2x，在Rt△CEG中，利用勾股定理列式計算即可求出x，然后求出CE即可；
②根據同角的余角相等求出∠PCG=∠CEG，然后求出△PCG和△PEC相似，再根據相似三角形對應邊成比例求出==，然后設PG=m，表示出PC=2m，在Rt△POC中，利用勾股定理列式求出m的值，再求出△EGF和△EPA相似，利用相似三角形對應邊成比例列式計算即可得解．
解答：（1）證明：如圖，連接OC，過點O作OD⊥PB于點D，
∵PA切⊙O于點C，
∴OC⊥PA，
∵PO平分∠BPA，
∴OC=OD，
∴PB是⊙O的切線；

（2）解：①連接CG，
∵EA⊥PA于A，
∴∠AEC+∠ECA=90°，
∵OC⊥PA，
∴∠OCE+∠EAC=90°，
∴∠OCE=∠CEA，
∵OC=OE，
∴∠OCE=∠OEC，
∴∠AEC=∠CEG，
∵EG為⊙O的直徑，
∴∠ECG=90°，
∵tan∠AEC==，
∴tan∠CEG==，
設CG=x，則CE=2x，
∵⊙O的半徑為3，
∴直徑EG=6，
∴x²+（2x）²=6²，
解之得，x₁=，x₂=-（不合題意，舍去），
∴x=，CE=2x=；

②∵OC⊥PA，
∴∠OCG+∠PCG=90°，
∵OC=OE，
∴∠OCG=∠OGC=∠ECG=90°，
∴∠OGC+CEG=90°，
∴∠PCG=∠CEG，
∵∠EPC=∠CPG，
∴△PCG∽△PEC，
∴==，
設PG=m，則PC=2m，在Rt△POC中，OG=OC=3，
根據勾股定理，PC²+OC²=PO²，
即（2m）²+3²=（m+3）²，
解得m₁=2，m₂=0（舍去），
∵∠GFE=∠PAE=90°，
∴GF∥PA，
∴△EGF∽△EPA，
∴===．
點評：本題考查了圓的綜合題型，主要利用了圓的切線的定義與判定，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等的性質，直徑所對的圓周角是直角，相似三角形的判定與性質，勾股定理的應用，綜合題，但難度不大，仔細分析便不難求解．