Question

如圖，Rt△ABC中，AD為斜邊BC的高，P為AD的中點，BP交AC于N，NM⊥BC于M．延長BA、MN交于E．求證：
（1）MN=EN；
（2）MN²=AN•NC．

Answer 1

證明：（1）∵AD為斜邊BC的高，NM⊥BC，
∴AD∥EM，
∴△BAP∽△BEN，△BPD∽△BNM，
∴=，=，
∴=，
而P為AD的中點，
∴AP=DP，
∴MN=EN；
（2）∵∠NMC=∠NAE=90°，∠MNC=∠ENA，
∴△MNC∽△ANE，
∴MN：AN=NC：EN，
而MN=EN，
∴MN：AN=NC：MN，
∴MN²=AN•NC．
分析：（1）易得AD∥EM，根據(jù)三角形相似的判定方法得到△BAP∽△BEN，△BPD∽△BNM，則=，=，所以=，然后根據(jù)AP=DP即可得到MN=EN；
（2）易得△MNC∽△ANE，根據(jù)三角形相似的性質(zhì)得MN：AN=NC：EN，而MN=EN，則MN：AN=NC：MN，然后根據(jù)比例性質(zhì)即可得到結(jié)論．
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：平行于三角形一邊的直線被其他兩邊所截得的三角形與原三角形相似；有兩組角對應(yīng)相等的兩三角形相似；相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等．