Question

已知二次函數(shù)y＝x²－x＋c．

(1)若點(diǎn)A(－1，n)、B(2，2n－1)在二次函數(shù)y＝x²－x＋c的圖象上，求此二次函數(shù)的最小值；

(2)若點(diǎn)D(x₁，y₁)、E(x₂，y₂)、P(m，m)在二次函數(shù)y＝x²－x＋c的圖象上，且D、E兩點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對稱，連接OP．當(dāng)2≤OP≤2＋時(shí)，試判斷直線DE與拋物線y＝x²－x＋c＋的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，并說明理由．

Answer 1

(1)拋物線y＝x²－x＋c的對稱軸是x＝，

　 且 －(－1) ＝2－，∴ A、B兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱.　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ n＝2n－1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ n＝1，c＝－1.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ 有 y＝x²－x－1　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　

　　　　　 ＝(x－)²－.　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ 二次函數(shù)y＝x²－x－1的最小值是－.　　　　　　　　　　　　 　

(2)解：∵ 點(diǎn)P(m，m)(m＞0)，

　 ∴ PO＝m.

　 ∴ 2≤m ≤＋2.

　 ∴ 2≤m≤1＋.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 法1： ∵ 點(diǎn)P(m，m)(m＞0)在二次函數(shù)y＝x²－x＋c的圖象上，

　 ∴ m＝m²－m＋c，即c＝－m²＋2m.

　 ∵ 開口向下，且對稱軸m＝1，

　 ∴ 當(dāng)2≤m≤1＋ 時(shí)，

　 有 －1≤c≤0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 法2：∵ 2≤m≤1＋，

　 ∴ 1≤m－1≤.

　 ∴ 1≤(m－1)²≤2.

　 ∵ 點(diǎn)P(m，m)(m＞0)在二次函數(shù)y＝x²－x＋c的圖象上，

　 ∴ m＝m²－m＋c，即1－c＝(m－1)².

　 ∴ 1≤1－c≤2.

　 ∴ －1≤c≤0. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∵ 點(diǎn)D、E關(guān)于原點(diǎn)成中心對稱，

　 法1： ∴ x₂＝－x₁，y₂＝－y₁.

　 ∴

　 ∴ 2y₁＝－2x₁， y₁＝－x₁.　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 設(shè)直線DE：y＝kx.

　 有 －x₁＝kx₁.

　　 由題意，存在x₁≠x₂. 　　　　　　　　　　　　　　

　　 ∴ 存在x₁，使x₁≠0.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　 ∴ k＝－1.

　 ∴ 直線DE： y＝－x. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　　　　　　

　　 若 _{則有 x²＋c＋＝0.即 x²＝－c－.}

　　 ① 當(dāng) －c－＝0時(shí)，即c＝－時(shí)，方程x²＝－c－有相同的實(shí)數(shù)根，

　　 即直線y＝－x與拋物線y＝x²－x＋c＋有唯一交點(diǎn).　　　　　　　

　　 ② 當(dāng) －c－＞0時(shí)，即c＜－時(shí)，即－1≤c＜－時(shí)，

　　 方程x²＝－c－有兩個(gè)不同實(shí)數(shù)根，

　　 即直線y＝－x與拋物線y＝x²－x＋c＋有兩個(gè)不同的交點(diǎn).　　　

　　 ③ 當(dāng) －c－＜0時(shí)，即c＞－時(shí)，即－＜c≤0時(shí)，

　　 方程x²＝－c－沒有實(shí)數(shù)根，

　　 即直線y＝－x與拋物線y＝x²－x＋c＋沒有交點(diǎn).