Question

5．若整數a能被整數b整除，則一定存在整數n，使得$\frac{a}=n$，即a=bn．例如若整數a能被整數3整除，則一定存在整數n，使得$\frac{a}{3}=n$，即a=3n．
（1）若一個多位自然數的末三位數字所表示的數與末三位數以前的數字所表示的數之差（大數減小數）能被13整除，那么原多位自然數一定能被13整除．例如：將數字306371分解為306和371，因為371-306=65，65是13的倍數，所以306371能被13整除．請你證明任意一個四位數都滿足上述規(guī)律．
（2）如果一個自然數各數位上的數字從最高位到個位僅有兩個數交替排列組成，那么我們把這樣的自然數叫做“擺動數”，例如：自然數12121212從最高位到個位是由1和2交替出現(xiàn)組成，所以12121212是“擺動數”，再如：656，9898，37373，171717，…，都是“擺動數”，請你證明任意一個6位擺動數都能被13整除．

Answer 1

分析 （1）設一個四位數的末三位數為B，末三位數以前的數為A，根據題意可得A=13n+B，即這個四位數是1000（13n+B）+B=13（1000n+77B），可得；
（2）設任意一個6位擺動數的十位數字為a、個位數字為b，表示出末三位數為100b+10a+b，末三位數以前的數為100a+10b+a，將二者相減分解出因數13可得．

解答 解：（1）設一個四位數的末三位數為B，末三位數以前的數為A，
則這個四位數為：1000A+B，
由題意：A-B=13n（n為整數），
∴A=13n+B，
從而1000A+B=1000（13n+B）+B
=13000n+1001B
=13（1000n+77B），
∴這個四位數能被13整除
∴任意一個四位數都滿足上述規(guī)律；
（2）設任意一個6位擺動數的十位數字為a，個位數字為b，
所以這個6位擺動數的末三位數為：100b+10a+b，
末三位數以前的數為：100a+10b+a，
∵100a+10b+a-（100b+10a+b）=91a-91b=13（7a-7b）
∴這個6位擺動數的末三位數以前的數與末三位數之差能被13整除，
∴任意一個6位擺動數能被13整除．

點評 此題主要考查了數的整除性，根據題意用未知數表示出各數是解題關鍵．