Question

如圖，圖①是一個小朋友玩“滾鐵環(huán)”的游戲．鐵環(huán)是圓形的，鐵環(huán)向前滾動時，鐵環(huán)鉤保持與鐵環(huán)相切．將這個游戲抽象為數(shù)學(xué)問題，如圖②．已知鐵環(huán)的半徑為25厘米，設(shè)鐵環(huán)中心為O，鐵環(huán)鉤FM與鐵環(huán)相切于點M，鐵環(huán)與地面接觸點為A，∠MOA=α，且sinα=0.6．

（1）求點M離地面AC的高度MB（單位：厘米）；
（2）設(shè)人站立點C與點A的水平距離AC等于55厘米，鐵環(huán)鉤末端F在站立點C的正上方，求鐵環(huán)鉤MF的長度（單位：厘米）．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì),勾股定理

專題：

分析：（1）過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．那么求BM的長就轉(zhuǎn)化為求HA的長，而要求出HA，必須先求出OH，在直角三角形OHM中，sinα的值，且鐵環(huán)的半徑為5個單位即OM=5，可求得HM的值，從而求得HA的值；
（2）因為∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，又因為sinα=0.6，所以可得出FN和FM之間的數(shù)量關(guān)系，即FN=

3

5

FM，再根據(jù)MN=11-3=8，利用勾股定理即可求出FM=10個單位．

解答：解：過M作與AC平行的直線，與OA、FC分別相交于H、N．
（1）在Rt△OHM中，∠OHM=90°，OM=25，
HM=OM×sinα=15，
所以O(shè)H=20，
MB=HA=25-20=5，
所以鐵環(huán)鉤離地面的高度為5cm；

（2）∵鐵環(huán)鉤與鐵環(huán)相切，
∴∠MOH+∠OMH=∠OMH+∠FMN=90°，∠FMN=∠MOH=α，
∴

FN

FM

=sinα=

3

5

，
∴FN=

3

5

FM，
在Rt△FMN中，∠FNM=90°，MN=BC=AC-AB=55-15=40．  
∵FM²=FN²+MN²
即FM²=（

3

5

FM）²+40²，
解得：FM=50，
∴鐵環(huán)鉤的長度FM為50cm．

點評：考查了解直角三角形的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，只要把實際問題抽象到解直角三角形中即可解答．