Question

1．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AB⊥x軸于點B，點A為（-4，3），將△OAB繞著原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△OA₁B₁；再將△OA₁B₁繞著線段OB₁的中點旋轉(zhuǎn)180°，得到△OA₂B₁，拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點B、B₁、A₂．

（1）求拋物線的解析式；
（2）在第三象限內(nèi)，拋物線上的點P在什么位置時，△PBB₁的面積最大？求出這時點P的坐標(biāo)；
（3）在第三象限內(nèi)，拋物線上是否存在點Q，使得△QBB₁為以BB₁為直角邊的直角三角形？若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)確定點B、B₁、A₂三點的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得拋物線的解析式；
（2）求出△PBB₁的面積表達式，這是一個關(guān)于P點橫坐標(biāo)的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求極值的方法求出△PBB1面積的最大值；值得注意的是求△PBB₁面積的方法，如圖1所示；
（3）根據(jù)待定系數(shù)法，可得BB₁的解析式，過B點垂直BB₁的解析式，過B₁點垂直BB₁的解析式，根據(jù)解方程組，可得垂直BB₁的直線與拋物線的交點坐標(biāo)，根據(jù)第三象限內(nèi)點的橫坐標(biāo)小于零，縱坐標(biāo)小于零，可得答案．

解答 解：（1）∵AB⊥x軸，A（-4，3），OB=4，
∴B（-4，0），B₁（0，-4），A₂（3，0）．
∵拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）經(jīng)過點B、B₁、A₂，
∴$\left\{\begin{array}{l}{16a-4b+c=0}\\{c=-4}\\{9a+3b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=\frac{1}{3}}\\{c=-4}\end{array}\right.$．
∴拋物線的解析式為：y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x-4．

（2）點P是第三象限內(nèi)拋物線y=$\frac{1}{3}$x²+$\frac{1}{3}$x-4上的一點，
如圖1，點P作PC⊥x軸于點C．

設(shè)點P的坐標(biāo)為（m，n），則m＜0，n＜0，n=$\frac{1}{3}$m²+$\frac{1}{3}$m-4．
于是PC=|n|=-n=-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{1}{3}$m+4，OC=|m|=-m，BC=OB-OC=|-4|-|m|=4+m．
S_△PBB1=S_△PBC+S_梯形PB1OC-S_△OBB1
=$\frac{1}{2}$×BC×PC+$\frac{1}{2}$×（PC+OB₁）×OC-$\frac{1}{2}$×OB×OB₁
=$\frac{1}{2}$×（4+m）×（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{1}{3}$m+4）+$\frac{1}{2}$×[（-$\frac{1}{3}$m²-$\frac{1}{3}$m+4）+4]×（-m）-$\frac{1}{2}$×4×4
=-$\frac{2}{3}$m²-$\frac{8}{3}$m
=-$\frac{2}{3}$（m+2）²+$\frac{8}{3}$，
當(dāng)m=-2時，△PBB₁的面積最大，這時，n=-$\frac{10}{3}$，即點P（-2，-$\frac{10}{3}$）；
（3）在第三象限內(nèi)，拋物線上不存在點Q，使得△QBB₁為以BB₁為直角邊的直角三角形，理由如下：
BB₁的解析式為y=-x-4，
過B點垂直BB₁的解析式為y=x+4，
過B₁點垂直BB₁的解析式為y=x-4，
①聯(lián)立拋物線與過B點垂直BB₁的直線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{1}{3}x+4}\\{y=x+4}\end{array}\right.$，
消元化簡，得x²-2x-24=0，
解得x₁=-4，x₂=6，
當(dāng)x₁=-4時，y=0，即點的坐標(biāo)是（-4，0），
點（-4，0）不在第三象限，
當(dāng)x=6時，y=6+4=10，即交點坐標(biāo)（6，10），
點（6，10）不在第三象限；
②聯(lián)立拋物線與過B₁點垂直BB₁的直線，得
$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{3}{x}^{2}-\frac{1}{3}x+4}\\{y=x-4}\end{array}\right.$，
消元化簡，得x²-2x=0，
解得x₁=0，x₂=2，
當(dāng)x₁=-0時，y=-4，即點的坐標(biāo)是（0，-4），
點（0，-4）不在第三象限，
當(dāng)x=2時，y=2-4=-2，即交點坐標(biāo)（2，-4），
點（2，-4）不在第三象限；
綜上所述，垂直BB₁的直線與拋物線的交點都不在第三象限，
在第三象限內(nèi)，拋物線上不存在點Q，使得△QBB₁為以BB₁為直角邊的直角三角形．

點評 本題綜合考查了待定系數(shù)法求拋物線解析式、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、一元二次方程、旋轉(zhuǎn)與坐標(biāo)變化、圖形面積求法、勾股定理等重要知識點．第（2）問起承上啟下的作用，是本題的難點與核心，其中的要點是坐標(biāo)平面內(nèi)圖形面積的求解方法，這種方法是壓軸題中常見的一種解題方法，同學(xué)們需要認(rèn)真掌握．