Question

如圖，D是Rt△ABC的斜邊AB的中點，E是BC上的一點，且BE=

1

3

BC，∠B=30°，DE=1，則BC=

 

．

Answer 1

考點：三角形中位線定理,含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：

分析：連結(jié)CD，取BC中點F，連結(jié)DF，根據(jù)三角形中位線定理得出DF∥AC且DF=

1

2

AC．設(shè)AC=k．解直角△ABC，得出AB=2AC=2k，BC=

3

AC=

3

k，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=BD=AD=k，然后在直角△DEF中，運用勾股定理得出DF²+EF²=DE²，由此列出方程（

1

2

k）²+（

3

6

k）²=1²，解方程求出k=

3

，進而得到BC=

3

k=3．

解答：解：如圖，連結(jié)CD，取BC中點F，連結(jié)DF，則DF∥AC且DF=

1

2

AC．
設(shè)AC=k．
∵在直角△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴AB=2AC=2k，BC=

3

AC=

3

k．
∵D是Rt△ABC的斜邊AB的中點，
∴CD=BD=AD=k．
∵在直角△DEF中，∠EFD=90°，
∴DF²+EF²=DE²，
∵DF=

1

2

AC=

1

2

k，EF=BF-BE=

1

2

BC-

1

3

BC=

1

6

BC=

3

6

k，DE=1，
∴（

1

2

k）²+（

3

6

k）²=1²，
∴k=

3

，
∴BC=

3

k=3．
故答案為3．

點評：此題考查了三角形的中位線定理，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，綜合性較強，難度適中．準確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．