Question

如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC = 4，AB邊上有一動(dòng)點(diǎn)P(不與A、B重合)，連結(jié)DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射線BC于點(diǎn)E，設(shè)AP=x．
【小題1】當(dāng)x為何值時(shí)，△APD是等腰三角形？
【小題2】若設(shè)BE=y，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式
【小題3】若BC的長可以變化，在現(xiàn)在的條件下，是否存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C？若存在，求出相應(yīng)的AP的長；若不存在，請說明理由，并直接寫出當(dāng)BC的長在什么范圍內(nèi)時(shí)，可以存在這樣的點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C．
   

Answer 1

【小題1】 過D點(diǎn)作DH⊥AB于H ，則四邊形DHBC為矩形，
∴DH=BC=4，HB=CD=6  ∴AH=2，AD=2·
∵AP=x，  ∴PH=x－2，
情況①：當(dāng)AP=AD時(shí)，即x=2·
情況②：當(dāng)AD=PD時(shí)，則AH="PH" ∴2=x－2，解得x=" 4"
情況③：當(dāng)AP=PD時(shí)，則Rt△DPH中，x²=4²+(x－2)²，解得x=5··
∵2<x<8，∴當(dāng)x為2、4、5時(shí)，△APD是等腰三角形···

【小題1】易證：△DPH∽△PEB 
∴，∴ 整理得：y=(x－2)(8－x)=－x²+x－4··
【小題1】若存在，則此時(shí)BE=BC=4，即y=－x²+x－4=4，整理得： x²－10x+32=0
∵△=(－10)²－4×32<0，∴原方程無解， ∴不存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C
當(dāng)BC滿足0＜BC≤3時(shí)，存在點(diǎn)P，使得PQ經(jīng)過點(diǎn)C。

解析