【題目】如圖所示,已知拋物線y=ax2(a≠0)與一次函數(shù)y=kx+b的圖象相交于A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4)兩點,點P是拋物線上不與A,B重合的一個動點,點Q是y軸上的一個動點.
(1)請直接寫出a,k,b的值及關(guān)于x的不等式ax2<kx﹣2的解集;
(2)當點P在直線AB上方時,請求出△PAB面積的最大值并求出此時點P的坐標;
(3)是否存在以P,Q,A,B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出P,Q的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)a=﹣1,k=﹣1,b=﹣2,x<﹣1或x>2;(2)△PAB面積的最大值為,此時點P的坐標為(,);(3)P的坐標為(﹣3,﹣9)或(3,﹣9)或(1,﹣1),Q的坐標為:Q(0,﹣12)或(0,﹣6)或(0,﹣4).
【解析】
(1)利用待定系數(shù)法即可求得a,k,b的值,根據(jù)圖象即可得出不等式的解集;(2)過點A作y軸的平行線,過點B作x軸的平行線,兩者交于點C,連接PC.設點P的橫坐標為m,則點P的縱坐標為﹣m2.過點P作PD⊥AC于D,作PE⊥BC于E.則D(﹣1,﹣m2),E(m,﹣4),由此可得PD=m+1,PE=﹣m2+4.再根據(jù)S△APB=S△APC+S△BPC﹣S△ABC,代入數(shù)據(jù)即可得S△APB與m的二次函數(shù)關(guān)系式,利用二次函數(shù)求最值的方法求得m的值及S△APB 的值最大.再求得點P的坐標即可;(3)(3)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和坐標特點解答即可.
解:(1)把A(﹣1,﹣1),代入y=ax2中,可得:a=﹣1,
把A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4)代入y=kx+b中,可得:,
解得:,
所以a=﹣1,k=﹣1,b=﹣2,
關(guān)于x的不等式ax2<kx﹣2的解集是x<﹣1或x>2,
(2)過點A作y軸的平行線,過點B作x軸的平行線,兩者交于點C.
∵A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4),
∴C(﹣1,﹣4),AC=BC=3,
設點P的橫坐標為m,則點P的縱坐標為﹣m2.
過點P作PD⊥AC于D,作PE⊥BC于E.則D(﹣1,﹣m2),E(m,﹣4),
∴PD=m+1,PE=﹣m2+4.
∴S△APB=S△APC+S△BPC﹣S△ABC
=
=
=.
∵<0,,﹣1<m<2,
∴當時,S△APB 的值最大.
∴當時,,S△APB=,
即△PAB面積的最大值為,此時點P的坐標為(,)
(3)存在三組符合條件的點,
當以P,Q,A,B為頂點的四邊形是平行四邊形時,
∵AP=BQ,AQ=BP,A(﹣1,﹣1),B(2,﹣4),
可得坐標如下:
①P′的橫坐標為﹣3,代入二次函數(shù)表達式,
解得:P'(﹣3,﹣9),Q'(0,﹣12);
②P″的橫坐標為3,代入二次函數(shù)表達式,
解得:P″(3,﹣9),Q″(0,﹣6);
③P的橫坐標為1,代入二次函數(shù)表達式,
解得:P(1,﹣1),Q(0,﹣4).
故:P的坐標為(﹣3,﹣9)或(3,﹣9)或(1,﹣1),
Q的坐標為:Q(0,﹣12)或(0,﹣6)或(0,﹣4).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠ACB=30°,AC=6,現(xiàn)將Rt△ABC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到△AB′C′,則圖中陰影部分面積為_____.
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【題目】如示意圖,小華家(點A處)和公路(l)之間豎立著一塊35m長且平行于公路的巨型廣告牌(DE).廣告牌擋住了小華的視線,請在圖中畫出視點A的盲區(qū),并將盲區(qū)內(nèi)的那段公路計為BC.一輛以60km/h勻速行駛的汽車經(jīng)過公路段的時間是3s,已知廣告牌和公路的距離是40m,求小華家到公路的距離.(精確到1m)
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD中,AB=3cm,以B為圓心,1cm長為半徑畫⊙B,點P在⊙B上移動,連接AP,并將AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°至AP′,連接BP′.在點P移動的過程中,BP′長度的最小值為_____cm.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,AD⊥BC,垂足為D,點P是邊AB上的一個動點,過點P作PF∥AC交線段BD于點F,作PG⊥AB交AD于點E,交線段CD于點G,設BP=x.
(1)用含x的代數(shù)式表示線段DG的長;
(2)設△DEF的面積為 y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出定義域;
(3)△PEF能否為直角三角形?如果能,求出BP的長;如果不能,請說明理由.
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【題目】一個不透明的口袋里裝有分別標有漢字“書”、“ 香”、“ 歷”、“ 城”的四個小球,除漢字不同之外,小球沒有任何區(qū)別,每次摸球前先攪拌均勻.
(1)若從中任取一個球,球上的漢字剛好是 “書”的概率為__________.
(2)從中任取一球,不放回,再從中任取一球,請用樹狀圖或列表的方法,求取出的兩個球上的漢字能組成“歷城”的概率.
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【題目】在平面直角坐標系xOy中,反比例函數(shù)y=的圖象過點A(6,1).
(1)求反比例函數(shù)的表達式;
(2)過點A的直線與反比例函數(shù)y=圖象的另一個交點為B,與y軸交于點P,若AP=3PB,求點B的坐標.
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【題目】定義:在平面直角坐標系xOy中,直線y=a(x﹣m)+k稱為拋物線y=a(x﹣m)2+k的關(guān)聯(lián)直線.
(1)求拋物線y=x2+6x﹣1的關(guān)聯(lián)直線;
(2)已知拋物線y=ax2+bx+c與它的關(guān)聯(lián)直線y=2x+3都經(jīng)過y軸上同一點,求這條拋物線的表達式;
(3)如圖,頂點在第一象限的拋物線y=﹣a(x﹣1)2+4a與它的關(guān)聯(lián)直線交于點A,B(點A在點B的左側(cè)),與x軸負半軸交于點C,連結(jié)AC、BC.當△ABC為直角三角形時,求a的值.
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【題目】已知:如圖①,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm,點P由B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動,速度為1cm/s;點Q由A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動,速度為2cm/s;連接PQ.若設運動的時間為t(s)(0<t<4),解答下列問題:
(1)當t為何值時,PQ∥BC;
(2)設△AQP的面積為y(cm2),求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式;
(3)是否存在某一時刻t,使線段PQ恰好把Rt△ACB的周長和面積同時平分?若存在,求出此時t的值;若不存在,說明理由;
(4)如圖②,連接PC,并把△PQC沿QC翻折,得到四邊形PQP′C,那么是否存在某一時刻t,使四邊形PQP′C為菱形?若存在,求出此時菱形的邊長;若不存在,說明理由.
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