Question

已知函數y₁=ax²+bx+c，y₂=ax+b（a＞b＞c），當x=1時，y₁=0．
（Ⅰ）證明：y₁與y₂的圖象有2個交點；
（Ⅱ）設y₁與y₂的圖象交點A，B在x軸上的射影為A₁，B₁，求|A₁B₁|的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當自變量x=1時函數值為0，將其代入y₁中得到
y₁=a+b+c=0，又有a＞b＞c，可知，a＞0，c＜0，b的正負不能確定，
聯系兩個函數，即兩線相交：ax²+bx+c=ax+b，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0，
△=（b-a）²-4a（c-b）=（b-a）²-4ac+4ab=（b+a）²-4ac，
∵a＞0，c＜0，-4ac＞0，
∴（b+a）²-4ac＞0，
∴兩個函數圖象必有兩個不同的交點；

（2）上述兩函數圖象的交點A．B在x軸上的射影分別為A₁．B₁，
根據A₁，B₁為ax²+bx+c=ax+b的兩根，
ax²+（b-a）x+（c-b）=0
有兩根為
x₁=，x₂=，
A₁B₁=
=
=，
∵-c=a+b，
∴A₁B₁=
=
=． 　　　　
由a＞b，a＞0，有 ＞，
即1＞，
由-a=b+c，b＞c，得到-a=b+c＜2b，
即-a＜2b，得到　 ＞-，
∴＜＜1分別代入A式為，
∴＜A₁B₁＜2 ．
分析：（1）將兩個解析式組成一個方程組后，然后轉化為一個一元二次方程，由根的判別式就可以得出結論．
（2）由條件利用求根公式可以表示出A₁、B₁的橫坐標，由數軸上的點表示出A₁B₁的值，確定出 的取值范圍，從而確定出A₁B₁的范圍，得出結論．
點評：此題考查了拋物線與x軸的交點，根的判別式，勾股定理的運用，函數值的運用及韋達定理的運用，利用韋達定理得出|A₁B₁|的取值范圍是解題關鍵．