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11.【閱讀發(fā)現(xiàn)】如圖①,在正方形ABCD的外側(cè),作兩個(gè)等邊三角形ABE和ADF,連結(jié)ED與FC交于點(diǎn)M,則圖中△ADE≌△DFC,可知ED=FC,求得∠DMC=90°.
【拓展應(yīng)用】如圖②,在矩形ABCD(AB>BC)的外側(cè),作兩個(gè)等邊三角形ABE和ADF,連結(jié)ED與FC交于點(diǎn)M.
(1)求證:ED=FC.
(2)若∠ADE=20°,求∠DMC的度數(shù).

分析 閱讀發(fā)現(xiàn):只要證明∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°,即可證明.
拓展應(yīng)用:(1)欲證明ED=FC,只要證明△ADE≌△DFC即可.
(2)根據(jù)∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC即可計(jì)算.

解答 解:如圖①中,∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=AB=CD,∠ADC=90°,
∵△ADE≌△DFC,
∴DF=CD=AE=AD,
∵∠FDC=60°+90°=150°,
∴∠DFC=∠DCF=∠ADE=∠AED=15°,
∴∠FDE=60°+15°=75°,
∴∠MFD+∠FDM=90°,
∴∠FMD=90°,
故答案為90°
(1)∵△ABE為等邊三角形,
∴∠EAB=60°,EA=AB.
∵△ADF為等邊三角形,
∴∠FDA=60°,AD=FD.
∵四邊形ABCD為矩形,
∴∠BAD=∠ADC=90°,DC=AB.
∴EA=DC.
∵∠EAD=∠EAB+∠BAD=150°,∠CDF=∠FDA+∠ADC=150°,
∴∠EAD=∠CDF.
在△EAD和△CDF中,
{AE=CDEAD=FDCAD=DF
∴△EAD≌△CDF.
∴ED=FC;
(2)∵△EAD≌△CDF,
∴∠ADE=∠DFC=20°,
∴∠DMC=∠FDM+∠DFC=∠FDA+∠ADE+∠DFC=60°+20°+20°=100°.

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí),解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形,利用全等三角形的尋找解決問(wèn)題,屬于中考常考題型.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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特例探索
(1)如圖①,若PD=5,PE=3,則CF=8;如圖①,若PD=6,PE=4,則CF=10;
變式探究
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P在BC延長(zhǎng)線上時(shí),其余條件不變,猜想PD,PE,CF的數(shù)量關(guān)系,并給出證明:
拓展應(yīng)用
(3)圖③是一個(gè)航模的截面示意圖,在四邊形ABCD中,點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn),ED⊥AD,EC⊥AB,垂足分別為D,C,且AD•CE=DE•BC,AB=213dm,AD=3dm,BD=37dm.點(diǎn)M,N分別為AE,BE的中點(diǎn),連接DM,CN,求△DEM與△CEN的周長(zhǎng)之和.

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19.簡(jiǎn)便計(jì)算:
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1.閱讀材料:
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