Question

（2013•泉州質檢）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=10cm，BC=5cm，點P從點C出發(fā)沿射線CA以每秒2cm的速度運動，同時點Q從點B出發(fā)沿射線BC以每秒1cm的速度運動．設運動時間為t秒．
（1）填空：AB=

5

5

cm；
（2）若0＜t＜5，試問：t為何值時，△PCQ與△ACB相似；
（3）若∠ACB的平分線CE交△PCQ的外接圓于點E．試探求：在整個運動過程中，PC、QC、EC三者存在的數(shù)量關系式，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)勾股定理求出即可；
（2）要使△PCQ與△ACB相似，必須有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．當∠PQC=∠A時，△PCQ∽△BCA，得出

CQ

CA

=

PC

BC

，代入求出即可；當∠PQC=∠B時，△PCQ∽△ACB，得出

CQ

CB

=

PC

AC

，代入求出即可；
（3）分為兩種情況：畫出圖形，當0＜t＜5時，過點E作HE⊥CE交AC于H，求出∠HEP=∠CEQ，∠QCE=∠PCE=45°，PE=QE，證△QCE≌△PHE，推出QC=PH，根據(jù)勾股定理求出即可；當t≥5時，過點E作ME⊥CE交AC于M，同法可證△QCE≌△PME，根據(jù)勾股定理求出即可．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=10cm，BC=5cm，由勾股定理得：AB=

102+52

=5

5

（cm）
故答案為：5

5

；

（2）如圖1，由題意可知：PC=2t，QB=t，QC=5-t．
∵∠PCQ=∠ACB，
∴要使△PCQ與△ACB相似，必須有∠PQC=∠B或∠PQC=∠A成立．
當∠PQC=∠A時，△PCQ∽△BCA，
由

CQ

CA

=

PC

BC

可得

5-t

10

=

2t

5

，
解得：t=1，
當∠PQC=∠B時，△PCQ∽△ACB，
由

CQ

CB

=

PC

AC

可得

5-t

5

=

2t

10

，
解得t=

5

2

，
∴當t=1或

5

2

秒時，△PCQ與△ACB相似； 

（3）當0＜t＜5時，如圖2，
過點E作HE⊥CE交AC于H，則∠HEP+∠PEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴PQ為△PCQ的外接圓的直徑，
∴∠QEP=90°，即∠QEC+∠PEC=90°，
∴∠HEP=∠CEQ，
又∵CE平分∠ACB且∠ACB=90°，
∴∠QCE=∠PCE=45°，
∴

PE

=

QE

，
∴PE=QE，
∴∠QCE=∠PHE=45°，
∵在△QCE和△PHE中

∠PEH=∠CEQ ∠PHE=∠ECQ PE=EQ

∴△QCE≌△PHE（AAS）
∴QC=PH，
在Rt△HEC中，EC²+EH²=HC²，EC=EH，
即2EC²=（CP+CQ）²
∴CP+CQ=

2

EC；
當t≥5時，如圖3，
過點E作ME⊥CE交AC于M，同法可證△QCE≌△PME，
∴CP-CQ=

2

EC，
綜上所述，當0＜t＜5時，CP+CQ=

2

EC；當t≥5時，CP-CQ=

2

EC．

點評：本題考查了等腰直角三角形，三角形的外接圓，相似三角形的性質和判定的應用，主要考查學生綜合運用性質進行計算的能力，題目綜合性比較強，難度偏大．