Question

如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，AD=BC=CD=2，∠B=60°，M、N、E、F分別是四邊中點(diǎn)，則四邊形MENF的周長為________．

Answer 1

4
分析：先連接AC、BD，由于AD=BC，AB∥CD，ABCD是梯形，易證四邊形ABCD是等腰梯形，從而有AC=BD，∠DAB=ABC=60°，而M、N、E、F分別是四邊中點(diǎn)，利用三角形中位線定理有EM∥AC，且EM=AC，NF∥AC，且NF=AC，MF=BD，可證四邊形MENF是菱形，再利用AD=CD，AB∥CD，易求∠DAC=∠CAB=30°，可知△ABC是含有30°角的直角三角形，再利用勾股定理可求AC，即可求四邊形MENF的周長．
解答：解：連接AC、BD，如右圖所示，
∵AD=BC，AB∥CD，ABCD是梯形，
∴四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AC=BD，∠DAB=ABC=60°，
又∵M(jìn)、N、E、F分別是四邊中點(diǎn)，
∴在△ACD中，EM∥AC，且EM=AC，
同理有NF∥AC，且NF=AC，MF=BD，
∴EM=FM，四邊形MENF是平行四邊形，
∴?MENF是菱形，
又∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∵AB∥CD，
∴∠CAB=∠DCA，
∴∠DAC=∠CAB=30°，
∴∠ACB=180°-30°-60°=90°，
又∵BC=2，
∴AB=4，
∴AC===2，
∴四邊形MENF的周長=2AC=4．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了平行四邊形的判定、等腰梯形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)、三角形中位線定理、勾股定理．解題的關(guān)鍵是證明四邊形ABCD是等腰梯形，證出△ABC是含有30°角的特殊直角三角形．