Question

如圖所示，在平面直角坐標系中，⊙M經過原點O，且與x軸、y軸分別相交于A（-6，0），B（0，-8）兩點．
（1）請求出直線AB的函數表達式；
（2）若有一拋物線的對稱軸平行于y軸且經過點M，頂點C在⊙M上，開口向下，且經過點B，求此拋物線的函數表達式；
（3）設（2）中的拋物線交x軸于D，E兩點，在拋物線上是否存在點P，使得S_△PDE=S_△ABC？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據“兩點法”可求直線AB解析式；
（2）求直徑AB，得半徑MC的值，由中位線定理得MN=OB，CN=MC-MN，又CM垂直平分線段AO，可得C點橫坐標及縱坐標，設拋物線頂點式，把B點坐標代入即可求拋物線解析式；
（3）由（2）可求線段DE的長，△ABC的面積可求，這樣可求△PDE中DE邊上的高，可表示P點的縱坐標，代入拋物線解析式求P點橫坐標即可．
解答：解：（1）設直線AB的函數表達式為y=kx+b（k≠0），
∵直線AB經過A（-6，0），B（0，-8），
∴由此可得
解得
∴直線AB的函數表達式為y=-x-8．

（2）在Rt△AOB中，由勾股定理，得，
∵⊙M經過O，A，B三點，且∠AOB=90°，
∴AB為⊙M的直徑，
∴半徑MA=5，
設拋物線的對稱軸交x軸于點N，
∵MN⊥x，
∴由垂徑定理，得AN=ON=OA=3．
在Rt△AMN中，，
∴CN=MC-MN=5-4=1，
∴頂點C的坐標為（-3，1），
設拋物線的表達式為y=a（x+3）²+1，
∵它經過B（0，-8），
∴把x=0，y=-8代入上式，
得-8=a（0+3）²+1，解得a=-1，
∴拋物線的表達式為y=-（x+3）²+1=-x²-6x-8．

（3）如圖，連接AC，BC，
S_△ABC=S_△AMC+S_△BMC=•MC•AN+MC•ON=×5×3+×5×3=15．
在拋物線y=-x²-6x-8中，設y=0，則-x²-6x-8=0，
解得x₁=-2，x₂=-4．
∴D，E的坐標分別是（-4，0），（-2，0），∴DE=2；
設在拋物線上存在點P（x，y），使得S_△PDE=S_△ABC=×15=1，
則S_△PDE=•DE•|y|=×2×|y|=1，∴y=±1，
當y=1時，-x²-6x-8=1，解得x₁=x₂=-3，∴P₁（-3，1）；
當y=-1時，-x²-6x-8=-1，解得x₁=-3+，x₂=-3-，
∴P₂（-3+，-1），P₃（-3-，-1）．
綜上所述，這樣的P點存在，
且有三個，P₁（-3，1），P₂（-3+，-1），P₃（-3-，-1）．
點評：本題主要考查方程、函數、三角形、圓等基礎知識，考查綜合運用數學知識、分析問題、解決問題的能力，考查待定系數法、數形結合、方程與函數的思想方法．