Question

【題目】已知：等邊三角形，交軸于點，，，，，且、滿足．

（1）如圖，求、的坐標(biāo)及的長；

（2）如圖，點是延長線上一點，點是右側(cè)一點，，且．連接．

求證：直線必過點關(guān)于軸對稱的對稱點；

（3）如圖，若點在延長線上，點在延長線上，且，求的值．

Answer 1

【答案】（1）A（-3,0），B（1,0），CD=2；（2）見解析；（3）6.

【解析】

（1）首先利用絕對值的非負性得出，即可得出點A、B的坐標(biāo)；得出AB、BC，然后由∠CBA=60°得出∠ODB=30°，進而得出BD，得出CD；

（2）首先判定△CEP、△ABC為等邊三角形，進而判定△CBE≌△CAP，然后利用角和邊的關(guān)系得出DO=OF，即可判定點D、F關(guān)于軸對稱，直線必過點關(guān)于軸對稱的對稱點；

（3）作DI∥AB，判定△CDI為等邊三角形，然后判定△MDI≌△NDB，得出NB=MI，進而得出的值.

（1）∵，即

∴

∴

∴A（-3,0），B（1,0），

∴AB=BC=4，

∵∠CBA=60°

∴∠ODB=30°

∴BD=2OB=2

∴CD=BC-BD=4-2=2；

（2）延長EB交軸于F，連接CE，如圖所示：

∵，

∴△CEP為等邊三角形

∴∠ECP=60°，CE=CP

由（1）中得知，△ABC為等邊三角形

∴∠ACB=60°，CA=CB

∴∠ACB+∠BCP=∠ECP+∠BCP

∴∠ACP=∠BCE

∴△CBE≌△CAP（SAS）

∴∠CEB=∠CPA

∴∠EBP=∠ECP=60°

∴∠FBO=∠DBO=60°

∴∠BFO=∠BDO=30°

∴BD=BF

∵BO⊥DF

∴DO=OF

∴點D、F關(guān)于軸對稱

∴直線必過點關(guān)于軸對稱的對稱點；

（3）過點D作DI∥AB交AC于I，如圖所示：

由（2）中△ABC為等邊三角形，則△CDI為等邊三角形，

∴DI=CD=DB

∴∠MID=120°=∠DBN

∴△MDI≌△NDB（AAS）

∴NB=MI

∴AN-AM=（AB+NB）-AM=AB+MI-AM=AB+AI=AB+BD=4+2=6