Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作EF⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．
（1）求證：EF是⊙O的切線；
（2）當(dāng)AB=5，BC=6時(shí)，求DE的長(zhǎng)．

Answer 1

解：（1）連接OD，
∵AB=AC，
∴∠C=∠OBD，
∵OD=OB，
∴∠1=∠OBD，
∴∠1=∠C，
∴OD∥AC，
∵EF⊥AC，
∴EF⊥OD，
∴EF是⊙O的切線；

（2）連接AD，
∵AB為⊙O的直徑，
∴∠ADB=90°，
又∵AB=AC，且BC=6，
∴CD=BD=BC=3，
在Rt△ACD中，AC=AB=5，CD=3，
根據(jù)勾股定理得：，
又S_△ACD=AC•ED=AD•CD，
即×5×ED=×4×3，
∴．…
分析：（1）連接OD，由AC=AB，根據(jù)等邊對(duì)等角得到一對(duì)角相等，再由OD=OB，根據(jù)等邊對(duì)等角得到又一對(duì)角相等，等量代換可得一對(duì)同位角相等，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得OD與AC平行，又EF垂直于AC，根據(jù)垂直于兩平行線中的一條，與另一條也垂直，得到EF與OD也垂直，可得EF為圓O的切線；
（2）連接AD，由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角可得∠ADB=90°，即AD與BC垂直，又AC=AB，根據(jù)三線合一得到D為BC中點(diǎn)，由BC求出CD的長(zhǎng)，再由AC的長(zhǎng)，利用勾股定理求出AD的長(zhǎng)，三角形ACD的面積有兩種求法，AC乘以DE除以2，或CD乘以AD除以2，列出兩個(gè)關(guān)系式，兩關(guān)系式相等可求出DE的長(zhǎng)．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，三角形面積的求法，以及切線的判定，其中證明切線的方法為：有點(diǎn)連接圓心與此點(diǎn)，證垂直；無(wú)點(diǎn)過(guò)圓心作垂線，證明垂線段長(zhǎng)等于圓的半徑．本題利用的是第一種方法．