Question

已知拋物線圖象交x軸于點A（-3，0）、B（1，0），交y軸于點C（0，-3）．
（1）求該二次函數(shù)解析式．
（2）D為拋物線第三象限內(nèi)一動點，過D作DQ⊥x軸交直線AC于Q，求線段DQ的最大值．
（3）在拋物線對稱軸上是否存在點E，使△OCE為等腰三角形？如果存在，請直接寫出點E坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)綜合題

專題：

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A（-3，0）、B（1，0），C（0，-3）坐標(biāo)分別代入求出a、b、c的值即可；
（2）由題意可知當(dāng)D為拋物線的頂點時，則線段DQ最長，長度為D和Q點的縱坐標(biāo)絕對值的差；
（3）在拋物線對稱軸上是垂直點E，使△OCE為等腰三角形，以O(shè)C為腰，用圓規(guī)以O(shè)C長度，在C點畫與對稱軸的交點，有兩個；以O(shè)C為腰，用圓規(guī)以O(shè)C長度，在O點畫與對稱軸的交點，有兩個；若OC非腰，OC中垂線與對稱軸交與E點，有一個；再分別求出即可．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，把A（-3，0）、B（1，0），C（0，-3）坐標(biāo)分別代入得：

0=9a-3b+c 0=a+b+c -3=c

，
解得：

a=1 b=2 c=-3

，
∴y=x²+2x-3；
（2）設(shè)點D（m，m²+2m-3）（-3＜m＜0），過點A（-3，0）和點C（0，-3）的直線解析式為y=kx+b，則

0=-3k+b -3=b

，
解得：

k=-1 b=-3

，
∴直線的解析式為y=-x-3，
∵DQ⊥AB，
∴Q（m，-m-3）
∴DQ=-m-3-（m²+2m-3）=-（m+

3

2

）²+

9

4

∵-1＜0，
∴-（m+

3

2

）²+

9

4

有最大值，當(dāng)m=-

3

2

時取最大值
最大值為

9

4

，即DQ的最大值為

9

4

；

（3）在拋物線對稱軸上是垂直點E，使△OCE為等腰三角形，
理由如下：以O(shè)C為腰，用圓規(guī)以O(shè)C長度，在C點畫與對稱軸的交點，有兩個，分別是（-1，-

2

）和（-1，2

2

）；
以O(shè)C為腰，用圓規(guī)以O(shè)C長度，在O點畫與對稱軸的交點，有兩個，分別是（-1，-3-2

2

）和（-1，-3+2

2

）；
若OC非腰，OC中垂線與對稱軸交與E點，有一個，是（-1，-

3

2

）
所以點E坐標(biāo)為（-1，-2

2

）（-1，2

2

）（-1，-3+2

2

）（-1，-3-2

2

）（-1，-

3

2

）．

點評：本題是二次函數(shù)的綜合題型，其中涉及到的知識點有拋物線的頂點公式和等腰三角形的判定和性質(zhì)以及用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)的解析式．在求有關(guān)動點問題時要注意分析題意分情況討論結(jié)果，題目的難度中等．