Question

如圖，AB是半⊙O的直徑，弦AC與AB成30°的角，AC=CD．
（1）求證：CD是半⊙O的切線(xiàn)；
（2）若OA=2，求AC的長(zhǎng)．

Answer 1

分析：要證明CD是半⊙O的切線(xiàn)只要證明∠OCD=90°即可；
根據(jù)三角函數(shù)即可求得AC的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接OC．
∵OA=OC，∠A=30°，
∴∠A=∠ACO=30°，
∴∠COD=60°．
又∵AC=CD，
∴∠A=∠D=30度．
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴CD是半⊙O的切線(xiàn)．

（2）解：連接BC．
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，∵cosA=

AC

AB

，
∴AC=ABcos30°=4×

3

2

=2

3

，
∴AC=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)切線(xiàn)的判定及解直角三角形的綜合運(yùn)用．