Question

17．已知，AB=5，tan∠ABM=$\frac{3}{4}$，點(diǎn)C、D、E為動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)C、D在射線BM上（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)E和點(diǎn)D分別在射線BA的兩側(cè)，且AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE．

（1）當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)B重合時(shí)（如圖1），聯(lián)結(jié)ED，求ED的長(zhǎng)；
（2）當(dāng)EA∥BM時(shí)（如圖2），求四邊形AEBD的面積；
（3）聯(lián)結(jié)CE，當(dāng)△ACE是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)B、C間的距離．

Answer 1

分析 （1）如圖1中，延長(zhǎng)BA交DE于F，作AH⊥BD于H，先證明BF⊥DE，EF=DF，再利用△ABH∽△DBF，得$\frac{AH}{DF}$=$\frac{AB}{BD}$，求出DF即可解決問(wèn)題．
（2）先證明四邊形ADBE是平行四邊形，根據(jù)S_{平行四邊形ADBE}=BD•AH，計(jì)算即可．
（3）由題意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC，利用四點(diǎn)共圓先證明四邊形ADBE是平行四邊形，求出DH、CH即可解決問(wèn)題．

解答 解：（1）如圖1中，延長(zhǎng)BA交DE于F，作AH⊥BD于H．

在RT△ABH中，∵∠AHB=90°，
∴sin∠ABH=$\frac{AH}{AB}$=$\frac{3}{5}$，
∴AH=3，BH=$\sqrt{A{B}^{2}-A{H}^{2}}$=4，
∵AB=AD，AH⊥BD，
∴BH=DH=4，
在△ABE 和△ABD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AD}\\{∠BAE=∠BAD}\\{AB=AB}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△ABE，
∴BE=BD，∠ABE=∠ABD，
∴BF⊥DE，EF=DF，
∵∠ABH=∠DBF，∠AHB=∠BFD，
∴△ABH∽△DBF，
∴$\frac{AH}{DF}$=$\frac{AB}{BD}$，
∴DF=$\frac{24}{5}$，
∴DE=2DF=$\frac{48}{5}$．
（2）如圖2中，作AH⊥BD于H．

∵AC=AD，AB=AE，∠CAD=∠BAE，
∴∠AEB=∠ABE=∠ACD=∠ADC，
∵AE∥BD，
∴∠AEB+∠EBD=180°，
∴∠EBD+∠ADC=180°，
∴EB∥AD，
∵AE∥BD，
∴四邊形ADBE是平行四邊形，
∴BD=AE=AB=5，AH=3，
∴S_{平行四邊形ADBE}=BD•AH=15．
（3）由題意AC≠AE，EC≠AC，只有EA=EC．
如圖3中，

∵∠ACD=∠AEB（已證），
∴A、C、B、E四點(diǎn)共圓，
∵AE=EC=AB，
∴$\widehat{EC}$=$\widehat{AB}$，
∴$\widehat{EB}$=$\widehat{AC}$，
∴∠AEC=∠ABC，
∴AE∥BD，
由（2）可知四邊形ADBE是平行四邊形，
∴AE=BD=AB=5，
∵AH=3，BH=4，
∴DH=BD-BH=1，
∵AC=AD，AH⊥CD，
∴CH=HD=1，
∴BC=BD-CD=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是添加輔助線構(gòu)造全等三角形，第三個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)解決問(wèn)題，屬于中考?jí)狠S題．