Question

如圖所示，AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE，BE與DC交于點P．求證：PA平分∠DPE．

Answer 1

考點：全等三角形的判定與性質(zhì)

專題：證明題

分析：先由AB=AD，AC=AE，∠DAB=∠CAE，易證△ADC≌△ABE（SAS），由△ADC≌△ABE可得它們的面積相等，且對應邊相等，所以得到對應邊上的高也相等，即AM=AN，然后由“HL”定理證明Rt△AMP≌Rt△ANP，從而證明結(jié)論．

解答：證明：過點A分別作AM⊥DP，垂足為點M，AN⊥PE，垂足為點N，
∵∠DAB=∠CAE（已知），
∴∠DAB+∠BAC=∠CAE+∠BAC（等式的性質(zhì)），
即∠DAC=∠BAE．
在△ADC和△ABE中，
∵AB=AD，∠DAC=∠BAE．AC=AE，
∴△ADC≌△ABE（SAS）
∴DC=BE （全等三角形的對應邊相等），
∵S_△ADC=S_△ABE
∴AM=AN
在Rt△AMP和Rt△ANP中，

AP=AP(公共邊) AM=AN(已證)

，
∴Rt△AMP≌Rt△ANP（HL）．
∴∠APM=∠APN（全等三角形的對應角相等），
∴PA平分∠DPE（角平分線的定義）

點評：此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，通過作輔助線，證明兩次三角形全等，即可證明結(jié)論．