Question

4．如圖1，定義：在直角三角形ABC中，銳角α的鄰邊與對(duì)邊的比叫做角α的余切，記作ctanα，即ctanα=$\frac{角α的鄰邊}{角α的對(duì)邊}$=$\frac{AC}{BC}$，根據(jù)上述角的余切定義，解下列問(wèn)題：
（1）如圖1，若BC=3，AB=5，則ctanB=$\frac{3}{4}$；  
（2）ctan60°=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）如圖2，已知：△ABC中，∠B是銳角，ctan C=2，AB=10，BC=20，試求∠B的余弦cosB的值．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理計(jì)算出AC=4，然后根據(jù)余切的定義求解；
（2）根據(jù)余切的定義得到ctan60°=$\frac{1}{tan60°}$，然后把tan60°=$\sqrt{3}$代入計(jì)算即可；
（3）作AH⊥BC于H，如圖2，先在Rt△ACH中利用余切的定義得到ctanC=$\frac{HC}{AH}$=2，則可設(shè)AH=x，CH=2x，BH=BC-CH=20-2x，接著再在Rt△ABH中利用勾股定理得到（20-2x）²+x²=10²，解得x₁=6，x₂=10（舍去），所以BH=8，然后根據(jù)余弦的定義求解．

解答 解：（1）∵BC=3，AB=5，
∴AC=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{2}}$=4，
∴ctanB=$\frac{BC}{AC}$=$\frac{3}{4}$；
（2）ctan60°=$\frac{1}{tan60°}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
（3）作AH⊥BC于H，如圖2，
在Rt△ACH中，ctanC=$\frac{HC}{AH}$=2，
設(shè)AH=x，則CH=2x，
∴BH=BC-CH=20-2x，
在Rt△ABH中，∵BH²+AH²=AB²，
∴（20-2x）²+x²=10²，解得x₁=6，x₂=10（舍去），
∴BH=20-2×6=8，
∴cosB=$\frac{BH}{AB}$=$\frac{8}{10}$=$\frac{4}{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的過(guò)程就是解直角三角形．