Question

如圖所示，已知一次函數(shù)y=kx+m（k，m為常數(shù)）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，6），B（3，0），二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和點(diǎn)C，點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象上的最低點(diǎn)，并且滿足AC=2BC
（1）求一次函數(shù)的解析式；
（2）求二次函數(shù)的解析式；
（3）判斷關(guān)于x的方程ax²+bx+c=kx+m是否有實(shí)數(shù)根，如有，求出它的實(shí)數(shù)根；如沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）依題意得：，
解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為y=-2x+6；

（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，則CD∥AO，
∴△BCD∽△BAO，∴，
∵AC=2BC∴=，∴CD=AO=2，
當(dāng)y=2時(shí)，-2x+6=2，解得x=2∴C（2，2），
由頂點(diǎn)C（2，2）設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a（x-2）²+2，
把A（0，6）代入上式，解得a=1
∴二次函數(shù)的解析式為y=（x-2）²+2；

（3）關(guān)于x的方程ax²+bx+c=kx+m有實(shí)數(shù)根．
理由：∵一次函數(shù)y=kx+m（k，m為常數(shù)）的圖象與二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象交于點(diǎn)A、點(diǎn)C，
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c=kx+m的實(shí)數(shù)根為x₁=0，x₂=2．
分析：（1）將A（0，6），B（3，0）兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=kx+m中，列方程組求k、m的值即可；
（2）過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于D，則CD∥AO，可證△BCD∽△BAO，由相似的性質(zhì)及AC=2BC，可求CD，代入直線AB的解析式可求OD，確定頂點(diǎn)C的坐標(biāo)，設(shè)拋物線頂點(diǎn)式，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入，可求拋物線解析式；
（3）方程ax²+bx+c=kx+m可看作求拋物線y=ax²+bx+c與直線y=kx+m的交點(diǎn)橫坐標(biāo)值，觀察圖象可知，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)值．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式的確定，函數(shù)圖象交點(diǎn)的求法等知識(shí)點(diǎn)．主要考查學(xué)生數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．