Question

【題目】如圖，在平行四邊形ABCD中，P是CD邊上的一點，AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA．

(1)判斷△APB是什么三角形，證明你的結(jié)論；

(2)比較DP與PC的大��；

(3)畫出以AB為直徑的⊙O，交AD于點E，連接BE與AP交于點F，若tan∠BPC＝，求tan∠AFE的值．

Answer 1

【答案】(1)△APB是直角三角形，理由見解析；(2)DP＝PC；(3)tan∠AFE＝.

【解析】

（1）可通過角的度數(shù)來判斷三角形APB的形狀．由于ABCD是平行四邊形，AD∥BC，那么同旁內(nèi)角∠DAB和∠CBA的和應(yīng)該是180°，AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA，于是∠PAB和∠ABP的和就應(yīng)該是90°，即∠APB＝90°，因此可得出三角形APB的形狀．
（2）可通過平行和角平分線，通過等角對等邊得出DP＝AP，同理可證出PC＝BC，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，AD＝BC，可得出DP＝PC．
（3）由AB為圓的直徑，根據(jù)直徑所對的圓周角為直角得到∠AEB＝∠APB＝90°，又AP為角平分線，根據(jù)角平分線定義得到一對角相等，根據(jù)兩對角相等的兩三角形相似，得到三角形AEF與三角形APB相似，進(jìn)而得到對應(yīng)角相等，又平行四邊形的對邊AB與DC平行，得到一對內(nèi)錯角相等，等量代換得到∠AFE與∠BPC相等，即可求出所求∠AFE的正切值．

(1)△APB是直角三角形，理由如下：

∵AD∥BC，

∴∠DAB＋∠ABC＝180°；

又∵AP與BP分別平分∠DAB和∠CBA

∴∠PAB＝∠DAB，∠PBA＝∠ABC，

∴∠PAB＋∠PBA＝(∠ABC＋∠DAB)

＝×180°＝90°，

∴△APB是直角三角形；

(2)∵DC∥AB，

∴∠BAP＝∠DPA．

∵∠DAP＝∠PAB，

∴∠DAP＝∠DPA，

∴DA＝DP

同理證得CP＝CB．

∴DP＝PC．

(3)∵AB是⊙O直徑，

∴∠AEB＝∠APB＝90°．

∵AP為角平分線，即∠EAF＝∠PAB，

∴△AEF∽△APB，

∴∠AFE＝∠ABP，

又ABCD為平行四邊形，∴DC∥AB，

∴∠ABP＝∠BPC，

∵tan∠BPC＝，

∴tan∠AFE＝．