Question

如圖，△ABC是邊長為5的等邊三角形，將△ABC繞點C順時針旋轉120°，得到△EDC，連接BD，交AC于F．
（1）猜想AC與BD的位置關系，并證明你的結論；
（2）求線段BD的長．

Answer 1

解：（1）AC與BD互相垂直平分．
證明：連接AD，由題意知，△ABC≌△EDC，∠ACE=120°，
又∵△ABC是等邊三角形，
∴AB=DC=BC=DE=5，∠ABC=∠ACB=∠DCE=∠E=60°，
∴∠ACE+∠ACB=120°+60°=180°，
∴B、C、E三點在一條直線上．
∴AB∥DC，
∴四邊形ABCD為菱形，
∴AC與BD互相垂直平分；

（2）由（1）知，四邊形ABCD為菱形，
∴∠DBE=∠ABC=30°，
∵∠DBE+∠BDE+∠E=180°，
∴∠BDE=90°．
∵B、C、E三點在一條直線上，
∴BE=10，
∴BD===5．
分析：（1）AC與BD互相垂直平分．如圖，連接AD構建菱形ABCD，則菱形的對角線互相垂直平分；
（2）在Rt△BDE中利用勾股定理即可得出BD的長．
點評：本題考查的是等邊三角形的性質及旋轉的性質，熟知圖形旋轉后的圖形與原圖形全等的性質是解答此題的關鍵．