Question

18．在△ABC中，BC=AC，∠BCA=90°，P為直線AC上一點，過A作AQ⊥BP于D，交直線BC于Q．
（1）如圖1，當(dāng)P在線段AC上時，求證：BP=AQ．
（2）如圖2，當(dāng)P在線段CA的延長線上時，其它條件不變，連PQ，請畫出圖形，猜想AB與PQ之間的位置關(guān)系并證明．
（3）在（2）的條件下，當(dāng)∠DBQ的度數(shù)為67.5°時，存在AQ=2BD．

Answer 1

分析 （1）首先根據(jù)內(nèi)角和定理得出∠DAP=∠CBP，進而得出△ACQ≌△BCP即可得出答案；
（2）延長BA交PQ于H，由于∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，得到∠CAQ=∠DBQ，推出△AQC≌△BPC（ASA），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到QC=CP，由于∠QCD=90°，于是得到∠CQP=∠CPQ=45°，根據(jù)∠ABC=∠PQC=45°，于是得到∠BHQ=90°，即可得到結(jié)論；
（3）當(dāng)∠DBQ=67.5°時，存在AQ=2BD，由∠DBQ=67.5°，∠ABC=45°，得到∠PBA=∠DBQ-∠ABC=22.5°，根據(jù)∠BAC=∠DBA+∠APB，∠BAC=45°，推出∠PBA=∠APB=22.5°根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到BP=2BD，通過△PBC≌△ACQ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答 （1）證明：∵∠ACB=∠ADB=90°，∠APD=∠BPC，
∴∠DAP=∠CBP，
在△ACQ和△BCP中
$\left\{\begin{array}{l}{∠QCA=∠PCB}\\{CA=CB}\\{∠CAQ=∠CBP}\end{array}\right.$，
∴△ACQ≌△BCP（ASA），
∴BP=AQ；

（2）延長BA交PQ于H，∵∠ACQ=∠BDQ=90°，∠AQC=∠BQD，
∴∠CAQ=∠DBQ，
在△AQC和△BPC中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ACQ=∠BCP}\\{CA=CB}\\{∠CAQ=∠CBP}\end{array}\right.$，
∴△AQC≌△BPC（ASA），
∴QC=CP，
∵∠QCD=90°，
∴∠CQP=∠CPQ=45°，
∵∠ABC=∠PQC=45°，
∴∠BHQ=90°，
∴AB⊥PQ；

（3）當(dāng)∠DBQ=67.5°時，存在AQ=2BD，
理由：∵∠DBQ=67.5°，∠ABC=45°，
∴∠PBA=∠DBQ-∠ABC=22.5°，
∵∠BAC=∠DBA+∠APB，
∵∠BAC=45°，
∴∠PBA=∠APB=22.5°，
∴AP=AB，
∵AD⊥BP，
∴BP=2BD，
在△PBC與△QAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠BPC=∠AQC}\\{BC=AC}\\{∠PCB=∠ACQ}\end{array}\right.$，
∴△PBC≌△ACQ，
∴AQ=PB，
∴AQ=2BD．
故答案為：67.5°．

點評 此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及等腰三角形性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理等知識，根據(jù)題意得出全等三角形是解題關(guān)鍵．