Question

5．在四邊形ABCD中，AB=CD，M、N分別是AD和BC的中點(diǎn)，延長BA和CD分別交射線NM于點(diǎn)E和點(diǎn)F，若tan∠F=$\frac{3}{4}$，F(xiàn)C=FN，EN=$\frac{3}{2}$，則EF=1．

Answer 1

分析 連接BD，點(diǎn)K為BD的中點(diǎn)；連接KM、KN；延長MN至G點(diǎn)，使EG=EB，連接BG，根據(jù)三角形中位線定理可得KM∥AB，AB=2KM、KN∥CD，CD=2KN，再證明△EBG和△FCN均為等腰三角形，△EBG≌△FCN可得EG=FN，從而可得EF=NG，過B點(diǎn)作GN的垂線BH交GN于H點(diǎn)．由tan∠F=$\frac{3}{4}$，設(shè)BH=3a，進(jìn)而可得EH=4a、BE=5a，再用含a的代數(shù)式表示出EN，再由EN=$\frac{3}{2}$，可得a的值，進(jìn)而可得答案．

解答 解：連接BD，點(diǎn)K為BD的中點(diǎn)；連接KM、KN；延長MN至G點(diǎn)，使EG=EB，連接BG．
∵M(jìn)、N分別是AD和BC的中點(diǎn)，
∴KM∥AB，AB=2KM、KN∥CD，CD=2KN．
∵AB=CD，
∴KM=KN，
∴△KMN為等腰三角形，
∴∠KMN=∠KNM，
∵KM∥AB 
∴∠BEG=∠KMN，
∵KN∥CD，
∴∠F=∠KNM
∴∠F=∠KNM=∠KMN=∠BEG，
∵FC=FN、EB=EG，
∴△EBG和△FCN均為等腰三角形，且△EBG∽△FCN．
∴∠G=∠C=∠FNC，
又∵∠BNG=∠FNC，
∴∠G=∠BNG，
∴△BGN為等腰三角形，
∴BN=BG，∠EBG=∠G，
∴BG=CN，∠EBG=∠FNC，
在△EBG和△FNC中$\left\{\begin{array}{l}{∠G=∠C}\\{BG=CN}\\{∠FNC=∠EBG}\end{array}\right.$，
∴△EBG≌△FCN（ASA），
∴EG=FN，
∴EF=NG，
過B點(diǎn)作GN的垂線BH交GN于H點(diǎn)．
由△BGN為等腰△可知，HN=HG，
∵tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴設(shè)BH=3a．
∴tan∠BEG=tan∠F=$\frac{3}{4}$，
∴EH=4a、BE=5a，
∴HG=HN=BE-EH=a，
∵EN=HE-HN=4a-a=3a，
∵EN=$\frac{3}{2}$，所以3a=$\frac{3}{2}$，
∴a=$\frac{1}{2}$，EF=NG=2a=1，
故答案為：1．

點(diǎn)評 此題主要考查了三角形中位線定理，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是正確作出輔助線，證明出△EBG≌△FCN．