Question

如圖（1），在平面直角坐標(biāo)系中，兩個全等的直角三角形的直角頂點(diǎn)及一條直角邊重合，點(diǎn)A在第二象限內(nèi)，點(diǎn)B、點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸上，∠AOC=60°，OA=4

（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為

 

；
（2）如圖（2），將△ACB繞點(diǎn)C按順時針方向旋轉(zhuǎn)30°，得到△A′CB′的位置，其中A′C交直線OA于E，則直線CE的解析式為

 

；
（3）設(shè)A′B′交直線OA、CA于點(diǎn)M、N，則四邊形MNCE的面積為

 

平方單位．

Answer 1

分析：（1）首先在Rt△ACO中，根據(jù)∠AOC=60°解直角三角形可以得到OA，OC的長，然后就可以得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）可證△COE為等邊三角形，過E點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為F，解直角三角形求E點(diǎn)坐標(biāo)，可求直線CE的解析式；
（3）由CE=CO=2，A′C=AC=2

3

，得到A′E=AN=2

3

-2，解Rt△AMN，求AM，MN，用S_{四邊形MNCE}=S_△AOC-S_△COE-S_△AMN，求解．

解答：解：（1）∵在Rt△ACO中，∠CAO=30°，OA=4，
∴OC=2，
∴C點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2，0）；

（2）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知∠ECO=90°-∠ACA′=60°，
又∵∠AOC=60°，
∴△COE為等邊三角形，過E點(diǎn)作x軸的垂線，垂足為F，

在Rt△OEF中，
∵∠AOC=60°，
∴OF=FC=1，EF=

3

，
將C（-2，0），E（-1，

3

）代入直線CE：y=kx+b中得

-2k+b=0 -k+b= 3

，
解得

k= 3 b=2 3

，
∴直線CE：y=

3

x+2

3

；

（3）∵CE=CO=2，A′C=AC=2

3

，
∴A′E=AN=2

3

-2，
在Rt△AMN中，MN=

1

2

AN=

3

-1，AM=

3

MN=3-

3

，
∴S_{四邊形MNCE}=S_△AOC-S_△COE-S_△AMN
=

1

2

×2×2

3

-

1

2

×2×

3

-

1

2

×（

3

-1）×（3-

3

）
=3-

3

．

點(diǎn)評：本題主要考查了一次函數(shù)的綜合，此題是開放性試題，把直角三角形、全等三角形，一次函數(shù)等知識綜合在一起，要求學(xué)生對這些知識比較熟練，利用幾何方法解決代數(shù)問題．