Question

如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=4，AC=3，線段AB為半圓O的直徑，將Rt△ABC沿射線AB方向平移，使斜邊與半圓O相切于點(diǎn)G，得△DEF，DF與BC交于點(diǎn)H．
（1）求BE的長(zhǎng)；
（2）求Rt△ABC與△DEF重疊（陰影）部分的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：切線的性質(zhì),扇形面積的計(jì)算,平移的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì)

專題：幾何圖形問(wèn)題

分析：（1）連接OG，先根據(jù)勾股定理計(jì)算出BC=5，再根據(jù)平移的性質(zhì)得AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，由于EF與半圓O相切于點(diǎn)G，根據(jù)切線的性質(zhì)得OG⊥EF，然后證明Rt△EOG∽R(shí)t△EFD，利用相似比可計(jì)算出OE=

10

3

，所以BE=OE-OB=

4

3

；
（2）求出BD的長(zhǎng)度，然后利用相似比例式求出DH的長(zhǎng)度，從而求出△BDH，即陰影部分的面積．

解答：解：（1）連結(jié)OG，如圖，
∵∠BAC=90°，AB=4，AC=3，
∴BC=

AB2+AC2

=5，
∵Rt△ABC沿射線AB方向平移，使斜邊與半圓O相切于點(diǎn)G，得△DEF，
∴AD=BE，DF=AC=3，EF=BC=5，∠EDF=∠BAC=90°，
∵EF與半圓O相切于點(diǎn)G，
∴OG⊥EF，
∵AB=4，線段AB為半圓O的直徑，
∴OB=OG=2，
∵∠GEO=∠DEF，
∴Rt△EOG∽R(shí)t△EFD，
∴

OE

EF

=

OG

DF

，即

OE

5

=

2

3

，解得OE=

10

3

，
∴BE=OE-OB=

10

3

-2=

4

3

；

（2）BD=DE-BE=4-

4

3

=

8

3

．
∵DF∥AC，
∴△ABC∽△DBH，
∴

DH

AC

=

BD

AB

，即

DH

3

=

8 3

4

，
解得：DH=2．
∴S_陰影=S_△BDH=

1

2

BD•DH=

1

2

×

8

3

×2=

8

3

，
即Rt△ABC與△DEF重疊（陰影）部分的面積為

8

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了平移的性質(zhì)、勾股定理和相似三角形的判定與性質(zhì)．