Question

如圖，已知在△ABC中，AB=AC=10cm，BC=8cm，點D為AB的中點，點P在線段BC上由B點向C點運動，同時，點Q在線段CA上由點C向點A運動．
（1）如果點P、Q的速度均為3厘米/秒，經(jīng)過1秒后，△BPD與△CQP是否全等？請說明理由；
（2）若點P的運動速度為2厘米/秒，點Q的運動速度為2.5厘米/秒，是否存在某一個時刻，使得△BPD與△CQP全等？如果存在請求出這一時刻并證明；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

（1）解：△BPD與△CQP是全等，
理由是：當t=1秒時BP=CQ=3，
CP=8-3=5，
∵D為AB中點，
∴BD=AC=5=CP，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BDP和△CPQ中
∵，
∴△BDP≌△CPQ（SAS）．

（2）解：假設存在時間t秒，使△BDP和△CPQ全等，
則BP=2t，BD=5，CP=8-2t，CQ=2.5t，
∵△BDP和△CPQ全等，∠B=∠C，
∴或（此方程組無解），
解得：t=2，
∴存在時刻t=2秒時，△BDP和△CPQ全等，
此時BP=4，BD=5，CP=8-4=4=BP，CQ=5=BD，
在△BDP和△CQP中
∵，
∴△BDP≌△CQP（SAS）．
分析：（1）求出BP=CQ，CP=BD，∠B=∠C，根據(jù)SAS證出兩三角形全等即可；
（2）假設存在時刻t，根據(jù)全等三角形的性質得出方程組，求出t后，看看是否符合題意，再根據(jù)全等三角形的判定推出即可．
點評：本題考查了全等三角形的性質和判定，主要考查學生的推理能力，題目比較好，但是有一定的難度．