Question

2．已知Rt△ABC，∠BAC=90°，將△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC（D與A是對應(yīng)點），直線DA與直線BE交于點F．

（1）求證：BF=EF；
（2）如圖2所示，點E落在射線CA上，連接CF交AB于點G，∠ABC的角平分線交CF于點H，P為BH上一點，且BH=4PH，直線AP交CF于點M，交BC于點N，若AF：AD=5：6，請你探究線段NP與MA之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）作BS⊥AD于S，ER⊥AD于R，如圖1，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠CDE=∠CAB=90°，AB=DE，CA=CD，則根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得∠CAD=∠CDA，再根據(jù)等角的余角相等得到∠1=∠2，則可根據(jù)“AAS”判定△ABS≌△DER，得到BS=RE，然后證明△BSF≌△ERF得到BF=EF；
（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得CB=CE，CA=CD，∠ACB=∠DCE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得CF⊥BE，AT=DT，∠1=∠2=∠3=∠4，則AF：AT=5：3，再根據(jù)角平分線定理得CF：CT=FA：AT=5：3，接著通過Rt△ACB∽△Rt△TCF可確定CA：AB：BC=3：4：5，然后利用兩組對應(yīng)邊成比例，夾角相等的兩三角形相似證明△BAP∽△BCH，得到∠1=∠5，于是判斷AN∥BE，則利用平行線分線段成比例定理得到$\frac{AM}{EF}$=$\frac{CM}{CF}$=$\frac{CA}{CE}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{CM}{CF}$=$\frac{MN}{BF}$，而BF=EF，所以AM=MN，AM=$\frac{3}{5}$EF，最后利用PM∥BF得到$\frac{PM}{BF}$=$\frac{PH}{BH}$=$\frac{1}{5}$，則AM=3PM，所以MN=3PM，所以NP：AM=2：3．

解答 （1）證明：作BS⊥AD于S，ER⊥AD于R，如圖1，
∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，
∴∠CDE=∠CAB=90°，AB=DE，CA=CD，
∵CA=CD，
∴∠CAD=∠CDA，
∵∠1+∠CAD=90°，∠2+∠CDA=90°，
∴∠1=∠2，
在△ABS和△DER中
$\left\{\begin{array}{l}{∠ASB=∠DRE}\\{∠1=∠2}\\{AB=DE}\end{array}\right.$，
∴△ABS≌△DER，
∴BS=RE，
在△BSF和△ERF中
$\left\{\begin{array}{l}{∠BFS=∠EFR}\\{∠BSF=∠ERF}\\{BS=ER}\end{array}\right.$，
∴△BSF≌△ERF，
∴BF=EF；
（2）解：NP：MA=2：3．理由如下：
∵△ABC繞點C順時針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，
∴CB=CE，CA=CD，∠ACB=∠DCE，
而BF=EF，CT⊥AD，
∴CF⊥BE，AT=DT，∠1=∠2=∠3=∠4，
∵AF：AD=5：6，
∴AF：AT=5：3，
∵CA為△FCT的角平分線，
∴CF：CT=FA：AT=5：3，
∵∠1+∠2=∠2+∠3，即∠BCA=∠FCT，
∴Rt△ACB∽△Rt△TCF，
∴$\frac{BC}{CF}$=$\frac{CA}{CT}$，
即$\frac{BC}{CA}$=$\frac{CF}{CT}$=$\frac{5}{3}$，
∴CA：AB：BC=3：4：5，
∵BP=4PH，
∴BP：BH=3：5，
∴BA：BC=BP：BH，
∵BH平分∠ABC，
∴∠ABP=∠CBH，
∴△BAP∽△BCH，
∴∠1=∠5，
而∠2=∠1，
∴∠2=∠5，
而∠5+∠MAC=90°，
∴∠2+∠MAC=90°，
∴∠AMC=90°，
∴AN∥BE，
∴$\frac{AM}{EF}$=$\frac{CM}{CF}$=$\frac{CA}{CE}$=$\frac{3}{5}$，$\frac{CM}{CF}$=$\frac{MN}{BF}$，
而BF=EF，
∴AM=MN，AM=$\frac{3}{5}$EF，
∵PM∥BF，
∴$\frac{PM}{BF}$=$\frac{PH}{BH}$=$\frac{1}{5}$，
∴AM=3PM，
∴MN=3PM，
∴PN=2PM，
∴NP：AM=2：3．

點評 本題考查了幾何變換綜合題：熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)；會根據(jù)相似三角形的判定方法證明三角形相似，能運用勾股定理和相似比得到線段之間的關(guān)系．解決本題的關(guān)鍵是合理構(gòu)建全等三角形證明線段相等和找出相似三角形，利用相似比確定NP和AM之間的關(guān)系．