Question

將矩形ABCD紙片沿對角線AC剪開，得到△ABC和△A′C′D，如圖1所示，將△A′C′D的頂點A′與點A重合，并繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，使點D、A（A′）、B在同一條直線上，如圖2所示，觀察圖2可知：與BC相等的線段是______，∠CAC′=______°。
問題探究：如圖3，△ABC中，AG⊥BC于點G，以A為直角頂點，分別以AB、AC為直角邊，向△ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，過點E、F作射線GA的垂線，垂足分別為P、Q，試探究EP與FQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論.，
拓展延伸：如圖4，△ABC中，AG⊥BC于點G，分別以AB、AC為一邊向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射線GA交EF于點H，若AB=kAE，AC=kAF，試探究HE與HF之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。

Answer 1

解： AD（或A′D），90；                                2分
問題探究結(jié)論：EP=FQ，                                  1分

證明：∵△ABE是等腰三角形，
∴AB=AE，∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
∵AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP，
∵EP⊥AG，
∴∠AGB=∠EPA=90°，
∴Rt△ABG≌Rt△EAP，
∴AG=EP，
同理AG=FQ，
∴EP=FQ，                                              5分
拓展延伸
結(jié)論：HE=HF，                                          1分
理由：過點E作EP⊥GA，FQ⊥GA，垂足分別為P、Q，
∵四邊形ABME是矩形，
∴∠BAE=90°，
∴∠BAG+∠EAP=90°，
AG⊥BC，
∴∠BAG+∠ABG=90°，
∴∠ABG=∠EAP，
∵∠AGB=∠EPA=90°，
∴△ABG∽△EAP，
∴，
同理△ACG∽△FAQ，
∴，
∵AB=kAE，AC=kAF，
∴=k，
∴，∴EP=FQ，
∵∠EHP=∠FHQ，
∴Rt△EPH≌Rt△FQH，
∴HE=HF。                                               5分