Question

已知二次函數(shù)y=ax²+bx+c的最大值為12.5，且不等式ax²+bx+c＞0的解集為-2＜x＜3
（1）求a、b、c的值；
（2）求函數(shù)圖象頂點的坐標．

Answer 1

（1）解：設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c=a（x-e）（x-f），
∵不等式ax²+bx+c＞0的解集為-2＜x＜3，
∴y=ax²+bx+c=a（x+2）（x-3）=ax²-ax-6a，
∵二次函數(shù)y=ax²+bx+c的最大值為12.5，
∴=12.5，
解得：a=-2，
∴y=-2x²+2x+12，
∴a=-2，b=2，c=12，
答：a=-2，b=2，c=12．

（2）解：y=-2x²+2x+12=-2（x²-x+）+12+，
=-2+，
∴函數(shù)圖象頂點的坐標是（，），
答：函數(shù)圖象頂點的坐標是（，）．
分析：（1）設(shè)二次函數(shù)y=ax²+bx+c=a（x-e）（x-f），根據(jù)二次函數(shù)與一元二次不等式的關(guān)系得到y(tǒng)=ax²+bx+c=a（x+2）（x-3）=ax²-ax-6a，根據(jù)二次函數(shù)y=ax²+bx+c的最大值公式即可求出a的值，即可求出b、c的值；
（2）把二次函數(shù)y=-2x²+2x+12通過配方得出頂點式-2+，即可求出頂點坐標．
點評：本題主要考查對二次函數(shù)的三種形式，解一元一次方程，二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，二次函數(shù)的圖象上的點的坐標特征，二次函數(shù)的最值，二次函數(shù)與X軸的交點坐標等知識點的理解和掌握，理解二次函數(shù)與一元二次不等式、一元二次方程的關(guān)系是解此題的關(guān)鍵，題型較好，難度適中．