Question

如圖，已知一底面半徑為r，母線長(zhǎng)為4r的圓錐，在地面圓周上有一螞蟻位于A點(diǎn)，它從A點(diǎn)出發(fā)沿圓錐面爬行一周后又回到原出發(fā)點(diǎn)，請(qǐng)你給它指出一條爬行最短的路徑，并求出最短路徑的長(zhǎng)．

Answer 1

解：把圓錐沿過點(diǎn)A的母線展成如圖所示扇形，
則螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程為AA′（線段）．
由此知：OA=OA′=4r，的長(zhǎng)即為圓錐的底面周長(zhǎng)為2πr．
∴2πr=，
解得：n=90°，
即∠AOA′=90°，∠OAC=45°．
∵OA=OA′，
∴OC⊥AA′，
∴AA′==4r．
即螞蟻運(yùn)動(dòng)的最短路程是4r．
分析：根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可求，利用底面周長(zhǎng)=展開圖的弧長(zhǎng)可求出圓心角的度數(shù)，再根據(jù)勾股定理求出弦的長(zhǎng)度．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了平面展開圖的最短路徑問題，此題的關(guān)鍵是找到這一條最短的路徑，并熟悉圓錐的展開圖，根據(jù)已知的條件求弦長(zhǎng)．