Question

已知拋物線l：y=ax²+bx+c（a，b，c均不為0）的頂點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為N，我們稱以N為頂點(diǎn)，對(duì)稱軸是y軸且過點(diǎn)M的拋物線為拋物線l的衍生拋物線，直線MN為拋物線l的衍生直線．
（1）如圖，拋物線y=x²-2x-3的衍生拋物線的解析式是

 

，衍生直線的解析式是

 

；
（2）若一條拋物線的衍生拋物線和衍生直線分別是y=-2x²+1和y=-2x+1，求這條拋物線的解析式；
（3）如圖，設(shè)（1）中的拋物線y=x²-2x-3的頂點(diǎn)為M，與y軸交點(diǎn)為N，將它的衍生直線MN先繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行，再沿y軸向上平移1個(gè)單位得直線n，P是直線n上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使△POM為直角三角形？若存在，求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題

專題：代數(shù)幾何綜合題,壓軸題

分析：（1）衍生拋物線頂點(diǎn)為原拋物線與y軸的交點(diǎn)，則可根據(jù)頂點(diǎn)設(shè)頂點(diǎn)式方程，由衍生拋物線過原拋物線的頂點(diǎn)則解析式易得，MN解析式易得．
（2）已知衍生拋物線和衍生直線求原拋物線思路正好與（1）相反，根據(jù)衍生拋物線與衍生直線的兩交點(diǎn)分別為衍生拋物線與原拋物線的交點(diǎn)，則可推得原拋物線頂點(diǎn)式，再代入經(jīng)過點(diǎn)，即得解析式．
（3）由N（0，-3），衍生直線MN繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行得到y(tǒng)=-3，再向上平移1個(gè)單位即得直線y=-2，所以P點(diǎn)可設(shè)（x，-2）．在坐標(biāo)系中使得△POM為直角三角形一般考慮勾股定理，對(duì)于坐標(biāo)系中的兩點(diǎn)，分別過點(diǎn)作平行于x軸、y軸的直線，則可構(gòu)成以兩點(diǎn)間距離為斜邊的直角三角形，且直角邊長(zhǎng)都為兩點(diǎn)橫縱坐標(biāo)差的絕對(duì)值．進(jìn)而我們可以先算出三點(diǎn)所成三條線的平方，然后組合構(gòu)成滿足勾股定理的三種情況，易得P點(diǎn)坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵拋物線y=x²-2x-3過（0，-3），
∴設(shè)其衍生拋物線為y=ax²-3，
∵y=x²-2x-3=x²-2x+1-4=（x-1）²-4，
∴衍生拋物線為y=ax²-3過拋物線y=x²-2x-3的頂點(diǎn)（1，-4），
∴-4=a•1-3，
解得 a=-1，
∴衍生拋物線為y=-x²-3．
設(shè)衍生直線為y=kx+b，
∵y=kx+b過（0，-3），（1，-4），
∴

-3=0+b -4=k+b

，
∴

k=-1 b=-3

，
∴衍生直線為y=-x-3．

（2）∵衍生拋物線和衍生直線兩交點(diǎn)分別為原拋物線與衍生拋物線的頂點(diǎn)，
∴將y=-2x²+1和y=-2x+1聯(lián)立，得

y=-2x2+1 y=-2x+1

，
解得

x=0 y=1

 或

x=1 y=-1

，
∵衍生拋物線y=-2x²+1的頂點(diǎn)為（0，1），
∴原拋物線的頂點(diǎn)為（1，-1）．
設(shè)原拋物線為y=a（x-1）²-1，
∵y=a（x-1）²-1過（0，1），
∴1=a（0-1）²-1，
解得 a=2，
∴原拋物線為y=2x²-4x+1．

（3）∵N（0，-3），
∴MN繞點(diǎn)N旋轉(zhuǎn)到與x軸平行后，解析式為y=-3，
∴再沿y軸向上平移1個(gè)單位得的直線n解析式為y=-2．
設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（x，-2），
∵O（0，0），M（1，-4），
∴OM²=（x_M-x_O）²+（y_O-y_M）²=1+16=17，
  OP²=（|x_P-x_O|）²+（y_O-y_P）²=x²+4，
  MP²=（|x_P-x_M|）²+（y_P-y_M）²=（x-1）²+4=x²-2x+5．
①當(dāng)OM²=OP²+MP²時(shí)，有17=x²+4+x²-2x+5，
解得x=

1+ 17

2

或x=

1- 17

2

，即P（

1+ 17

2

，-2）或P（

1- 17

2

，-2）．
②當(dāng)OP²=OM²+MP²時(shí)，有x²+4=17+x²-2x+5，
解得 x=9，即P（9，-2）．
③當(dāng)MP²=OP²+OM²時(shí)，有x²-2x+5=x²+4+17，
解得 x=-8，即P（-8，-2）．
綜上所述，當(dāng)P為（

1+ 17

2

，-2）或（

1- 17

2

，-2）或（9，-2）或（-8，-2）時(shí)，△POM為直角三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一次函數(shù)、二次函數(shù)圖象及性質(zhì)，勾股定理及利用其表示坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離的基礎(chǔ)知識(shí)，特別注意的是“利用其表示坐標(biāo)系中兩點(diǎn)距離”是近幾年考試的熱點(diǎn)，學(xué)生需熟練運(yùn)用．