Question

把兩塊全等的直角三角形ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點(diǎn)D與三角板ABC的斜邊中點(diǎn)O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不動(dòng)，讓三角板DEF繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，設(shè)射線DE與射線AB相交于點(diǎn)P，射線DF與線段BC相交于點(diǎn)Q．
（1）如圖1，當(dāng)射線DF經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，即點(diǎn)Q與點(diǎn)B重合時(shí)，易證△APD∽△CDQ．此時(shí)，AP•CQ

=8

．
（2）將三角板DEF由圖1所示的位置繞點(diǎn)O沿逆時(shí)針?lè)较蛐�轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α．其中0°＜α＜90°，問(wèn)AP•CQ的值是否改變？說(shuō)明你的理由．
（3）在（2）的條件下，設(shè)CQ=x，兩塊三角板重疊面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式．（圖2，圖3供解題用）

Answer 1

分析：（1）可通過(guò)證△APD∽△CDQ來(lái)求解．
（2）不會(huì)改變，關(guān)鍵是還是證△APD∽△CDQ，已知了一組45°角，關(guān)鍵是證（1）中的∠APD=∠QDC，由于圖2由圖1旋轉(zhuǎn)而得，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可設(shè)旋轉(zhuǎn)角為α，那么∠APD=90°-α，∠CDQ=90°-α，因此兩角相等．由此可證得兩三角形相似．因此結(jié)論不變．
（3）本題分類(lèi)兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)0°＜a＜45°時(shí)②當(dāng)45°≤a＜90°時(shí)．

解答：解：（1）∵∠A=∠C=45°，∠APD=∠QDC=90°，
∴△APD∽△CDQ．
∴AP：CD=AD：CQ．
∴即AP×CQ=AD×CD，
∵AB=BC=4，
∴斜邊中點(diǎn)為O，
∴AP=PD=2，
∴AP×CQ=2×4=8；
故答案為：8．

（2）AP•CQ的值不會(huì)改變．
理由如下：
∵在△APD與△CDQ中，∠A=∠C=45°，
∠APD=180°-45°-（45°+a）=90°-a，
∠CDQ=90°-a，
∴∠APD=∠CDQ．
∴△APD∽△CDQ．
∴

AP

AD

=

CD

CQ

，
∴AP•CQ=AD•CD=AD²=（

1

2

AC）²=8．

（3）情形1：當(dāng)0°＜a＜45°時(shí)，2＜CQ＜4，即2＜x＜4，
此時(shí)兩三角板重疊部分為四邊形DPBQ，過(guò)D作DG⊥AP于G，DN⊥BC于N，
∴DG=DN=2
由（2）知：AP•CQ=8得AP=

8

x

，
于是y=

1

2

AB•BC=

1

2

CQ•DN-

1

2

AP•DG，
=8-x-

8

x

（2＜x＜4），
情形2：當(dāng)45°≤a＜90°時(shí)，0＜CQ≤2時(shí)，即0＜x≤2，此時(shí)兩三角板重疊部分為△DMQ，
由于AP=

8

x

，PB=

8

x

-4，易證：△PBM∽△DNM，
∴

BM

MN

=

PB

DN

，即

BM

2-BM

=

PB

2

解得BM=

2PB

2+PB

=

8-4x

4-x

，
∴MQ=4-BM-CQ=4-x-

8-4x

4-x

于是y=

1

2

MQ•DN=4-x-

8-4x

4-x

(0＜x≤2)
綜上所述，當(dāng)2＜x＜4時(shí)，y=8-x-

8

x

；
當(dāng)0＜x≤2時(shí)，y=4-x-

8-4x

4-x

(或y=

x2-4x+8

4-x

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)以及二次函數(shù)等知識(shí)的綜合應(yīng)用．