Question

（2013•成都一模）如圖，以AB為直徑的⊙O是△ADC的外接圓，過點O作PO⊥AB，交AC于點E，PC的延長線交AB的延長線于點F，∠PEC=∠PCE．若△ADC是邊長為1的等邊三角形，則PC的長=

1

3

．

Answer 1

分析：根據(jù)圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)得出AB⊥CD，∠NCO=30°，進(jìn)而得出NO=

1

2

CO=

1

2

AO，再利用PO∥CD，得出

AE

EC

=

AO

ON

的值，再得出△PEC是等邊三角形，進(jìn)而得出答案．

解答：解：∵△ADC是邊長為1的等邊三角形，AB為⊙O的直徑，
∴AB⊥CD，連接CO，
∴CO=AO，∠NCO=30°，
∴NO=

1

2

CO=

1

2

AO，
∵PO⊥AB，AB⊥CD，
∴PO∥CD，
∴

AE

EC

=

AO

ON

=2，
∵∠ACD=60°，PO∥CD，
∴∠CEP=60°，
∵PE=PC，
∴△PEC是等邊三角形，
∴EC=PC=PE=

1

3

AC=

1

3

．
故答案為：

1

3

．

點評：此題主要考查了圓內(nèi)接正三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理和等邊三角形的判定等知識，根據(jù)已知得出

AE

EC

=

AO

ON

的值是解題關(guān)鍵．