Question

如圖，在Rt△ABC中，AC=4，∠ACB=90°，∠B=30°．AD平分∠CAB交CB于D，點E是斜邊AB上的一點，連接DE，當(dāng)△ADE為直角三角形時，BE的長為

 

．

Answer 1

考點：角平分線的性質(zhì),含30度角的直角三角形,勾股定理

專題：分類討論

分析：求出∠CAD=30°，然后解直角三角形求出AD，再根據(jù)直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出AB，再分①∠ADE=90°時，解直角三角形求出AE，然后根據(jù)BE=AB-AE計算即可得解；②∠AED=90°時，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得AE=AC，然后根據(jù)BE=AB-AE計算即可得解．

解答：解：∵∠ACB=90°，∠B=30°，AD平分∠CAB，
∴∠CAD=

1

2

（90°-30°）=30°，
∴AD=AC÷cos30°=4÷

3

2

=

8 3

3

，
∵∠B=30°，
∴AB=2AC=2×4=8，
①∠ADE=90°時，AE=AD÷cos30°=

8 3

3

÷

3

2

=

16

3

，
所以，BE=AB-AE=8-

16

3

=

8

3

；
②∠AED=90°時，
∵∠ACB=90°，AD平分∠CAB，
∴AE=AC=4，
∴BE=AB-AE=8-4=4，
綜上所述，BE的長為

8

3

或4．
故答案為：

8

3

或4．

點評：本題考查了角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質(zhì)，解直角三角形，熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，難點在于分情況討論．