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1.如圖①,在矩形ABCD中,AD=6,∠BDC=30°,將△BCD繞點(diǎn)B逆作時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△BC0D0,其中點(diǎn)C,D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)C0,D0,且點(diǎn)D0剛好落在CB的延長(zhǎng)線上,直線D0C0與AB相交于點(diǎn)E;

(1)求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù);
(2)求△EBD0的面積;
(3)如圖②,將△BC0D0以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右平行移動(dòng),得到△B1C1D1,其中點(diǎn)B,C0,D0的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是點(diǎn)B1C1D1,當(dāng)點(diǎn)C1到達(dá)邊CD上時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒,△B1C1D1與矩形ABCD重疊部分的面積為S(圖中陰影部分),請(qǐng)直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式,并寫出t的取值范圍;
(4)如題③,在(3)的△B1C1D1平移過程中,直線D1C1與線段AB相交于N,直線B1C1與線段BD相交于M,是否存在某一時(shí)刻t,使△MNC為等腰三角形,若存在,求出時(shí)間t,若不存在,請(qǐng)說明理由.

分析 (1)求旋轉(zhuǎn)角可根據(jù)旋轉(zhuǎn)定義求出∠D0BD的度數(shù)
(2)△EBD0面積可求出D0E和C0B長(zhǎng)度,根據(jù)三角形面積公式求出面積
(3)此問用分段函數(shù)表示,①當(dāng)C1在矩形ABCD外面,陰影部分是三角形,可用相似求出面積;②當(dāng)C1在矩形ABCD里面,陰影部分是四邊形,可用間接法求出面積
(4)根據(jù)已知用t表示相關(guān)線段,根據(jù)等腰列出一元二次方程,判斷方程的根即可.

解答 解:(1)
∵△BCD繞點(diǎn)B逆作時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△BC0D0,
∴旋轉(zhuǎn)角α=∠D0BD,
又∵∠BDC=30°,
∴∠DBC=60°,即∠D0BD=180°-60°=120°,
(2)∵△BCD繞點(diǎn)B逆作時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到△BC0D0,AD=6,∠BDC=30°,
∴BC=BC0=6,DC=D0C0=63,
∵∠D0C0B=90°,
∴∠C0BE=30°,
C0E=23,
SEBD0=63+23×6×12=243;
(3)①當(dāng)C1在矩形ABCD外面時(shí),
 S=2t2(0<t≤3),
 ②當(dāng)C1在矩形ABCD里面時(shí),
S=3t2+243t36363t9;
(4)不能.
如圖③

過點(diǎn)M作MH⊥AB,MR⊥BC,
在矩形ABCD中,AD=6,∠BDC=30°,
可求:AB=63,B1D1=BD=12,
由題意可求∠CBD=∠BB1C1=60°,
∴△MBB1是等邊三角形,
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t時(shí),BB1=t,BR=12t,MR=32t,
D1B=12-t,CR=6-12t,
在直角三角形D1BN中,BND1B=tan30°=33,
解得:BN=4333t
∴HN=BN-BH=43-536t,
由勾股定理可求:MN2=HN2+MH2=14t2+4810t+2512t2,
MC2=34t2+366t+14t2
當(dāng)MN2=MC2時(shí),14t2+4810t+2512t2=34t2+366t+14t2
化簡(jiǎn)得:4t2-12t+36=0,
△=b2-4ac<0,
方程無解,
所以不存在某一時(shí)刻t,使△MNC為等腰三角形.

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查幾何變換中的旋轉(zhuǎn),熟悉旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),矩形的性質(zhì),會(huì)用勾股定理解決問題,會(huì)根據(jù)等腰三角形討論點(diǎn)的存在性是解題的關(guān)鍵.

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