Question

（12分）已知拋物線y＝ax²＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OB<OC）是方程x²－10x＋16＝0的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x＝－2．
【小題1】（1）求A、B、C三點的坐標；
【小題2】（2）求此拋物線的表達式；
【小題3】（3）連接AC、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EF∥AC交BC于點F，連接CE，設(shè)AE的長為m，△CEF的面積為S，求S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量m的取值范圍；
【小題4】（4）在（3）的基礎(chǔ)上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時△BCE的形狀；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【小題1】（1）解方程x²－10x＋16＝0得x₁＝2，x₂＝8………………………………1分
∵點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OB＜OC
∴點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）
又∵拋物線y＝ax²＋bx＋c的對稱軸是直線x＝－2
∴由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（－6，0） …………………………………2分
【小題2】（2）∵點C（0，8）在拋物線y＝ax²＋bx＋c的圖象上
∴c＝8，將A（－6，0）、B（2，0）代入表達式，得
0＝4a＋2b＋8(0＝36a－6b＋8)解得   3(8)
∴所求拋物線的表達式為y＝－3(2)x²－3(8)x＋8 ………………………………………5分
【小題3】（3）依題意，AE＝m，則BE＝8－m，

∵OA＝6，OC＝8，∴AC＝10
∵EF∥AC∴△BEF∽△BAC
∴AC(EF)＝AB(BE) 即10(EF)＝8(8－m)
∴EF＝4(40－5m)…………………………………………6分
過點F作FG⊥AB，垂足為G，則△FEG∽△CAO
∴EF(FG)＝ ＝5(4)∴FG＝5(4)·4(40－5m)＝8－m
∴S＝S_△BCE－S_△BFE＝2(1)（8－m）×8－2(1)（8－m）（8－m）
＝2(1)（8－m）（8－8＋m）＝2(1)（8－m）m＝－2(1)m²＋4m……………………………8分
自變量m的取值范圍是0＜m＜8 …………………9分
【小題4】（4）存在．
理由：∵S＝－2(1)m²＋4m＝－2(1)（m－4）²＋8 且－2(1)＜0，
∴當m＝4時，S有最大值，S_最大值＝8 ………………………………10分
∵m＝4，∴點E的坐標為（－2，0）
∴△BCE為等腰三角形． ……………………………………………12分

解析