分析 (1)直接利用OB=OC,得出B點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而代入函數(shù)解析式求出答案;
(2)利用①如圖1,P在B、C之間時(shí),即0<m<4以及②如圖2,點(diǎn)P在A、C之間時(shí),即-2<m<0,進(jìn)而得出答案;
(3)利用①當(dāng)點(diǎn)P在A、C之間時(shí),即-2<m<0以及②當(dāng)點(diǎn)在B、C之間時(shí),即0<m<4,結(jié)合二次函數(shù)最值求法得出答案.
解答 解:(1)∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x2+ax+4a與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,
∴C(0,4a),4a<0,
∵OB=OC,
∴B(-4a,0),
∵B在拋物線上,
∴$\frac{1}{2}$(-4a)2+a•(-4a)+4a=0,
解得a=0或a=-1,
∵a<0,
∴a=-1,
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x2-x-4;
(2)設(shè)P(m,$\frac{1}{2}$m2-m-4),過點(diǎn)P作y軸垂線,交AC于點(diǎn)M,
AC的解析式為:y=-2x-4.
①如圖1,P在B、C之間時(shí),即0<m<4,
可得M(-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{2}$m,$\frac{1}{2}$m2-m-4)
∴PM=m-(-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{2}$m)
=$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{2}$m
當(dāng)S△PAC=$\frac{1}{2}$時(shí),
∴$\frac{1}{2}$|PM|×4=$\frac{1}{2}$,
∴(-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{2}$m)×4=1,
解得:m=-1±$\sqrt{2}$,
∵0<m<4,
∴m=-1+$\sqrt{2}$,
yP=-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$,故P(-1+$\sqrt{2}$,-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$);
②如圖2,點(diǎn)P在A、C之間時(shí),即-2<m<0,過P作y軸平行線交于AC于D點(diǎn),
∵A(-2,0),C(0,4),
∴直線AC的解析式為y=-2x-4,
∴D(m,-2m-4),
∴PD=-2m-4-($\frac{1}{2}$m2-m-4)=-$\frac{1}{2}$m2-m,
∴S△PAC=$\frac{1}{2}$PD(xC-xA)=-$\frac{1}{2}$m2-m,
∴-$\frac{1}{2}$m2-m=$\frac{1}{2}$,解得m=-1,
∴P(-1,-$\frac{5}{2}$),
綜上,符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是(-1+$\sqrt{2}$,-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$)或(-1,-$\frac{5}{2}$);
(3)由題意可得:P(m,$\frac{1}{2}$m2-m-4),
①如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在A、C之間時(shí),即-2<m<0,連接AC,
則S四邊形APCB=S△PAC+S△ABC,
由(2)得S△PAC=-$\frac{1}{2}$m2-m,
∵A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CO=12,
∴S=-$\frac{1}{2}$m2-m+12=-$\frac{1}{2}$(m+1)2+$\frac{25}{2}$,
∵-2<m<0,
∴12<S<$\frac{25}{2}$,
此時(shí)當(dāng)12<S<$\frac{25}{2}$,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè);
②如圖4,當(dāng)點(diǎn)在B、C之間時(shí),即0<m<4,連接PA,
則S四邊形APCB=S△PAC+S△APB,
由(2)得S△PAC=$\frac{1}{2}$m(m+2),
又S△PAB=$\frac{1}{2}$AB×|yP|,
∵P在第四象限,
∴yP<0,
∴S△PAB=$\frac{1}{2}×$AB×|yP|=$\frac{1}{2}×6$×(-$\frac{1}{2}$m2+m+4),
∴S=S△ACP+S△APB=-m2+4m+12=-(m-2)2+16,
∵0<m<4,12<S<$\frac{25}{2}$,
此時(shí)當(dāng)12<S<16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè),
當(dāng)S=16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有1個(gè),
由①②得:
當(dāng)12<S<$\frac{25}{2}$,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè);
當(dāng)12<S<16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè),
當(dāng)S=16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有1個(gè);
綜上所述:$\frac{25}{2}$<S<16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè).
點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)最值求法以及三角形面積求法等知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵.
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A. | 1個(gè) | B. | 2個(gè) | C. | 3個(gè) | D. | 4個(gè) |
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