15.如圖,已知拋物線y=$\frac{1}{2}$x2+ax+4a與x軸交于點(diǎn)A、B,與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C且OB=OC,點(diǎn)P為拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),且點(diǎn)P位于x軸下方,點(diǎn)P與點(diǎn)C不重合.
(1)求該拋物線的解析式;
(2)若△PAC的面積為$\frac{1}{2}$,求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)若以A、B、C、P為頂點(diǎn)的四邊形面積記作S,則S取何值時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè)?

分析 (1)直接利用OB=OC,得出B點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而代入函數(shù)解析式求出答案;
(2)利用①如圖1,P在B、C之間時(shí),即0<m<4以及②如圖2,點(diǎn)P在A、C之間時(shí),即-2<m<0,進(jìn)而得出答案;
(3)利用①當(dāng)點(diǎn)P在A、C之間時(shí),即-2<m<0以及②當(dāng)點(diǎn)在B、C之間時(shí),即0<m<4,結(jié)合二次函數(shù)最值求法得出答案.

解答 解:(1)∵拋物線y=$\frac{1}{2}$x2+ax+4a與y軸負(fù)半軸交于點(diǎn)C,
∴C(0,4a),4a<0,
∵OB=OC,
∴B(-4a,0),
∵B在拋物線上,
∴$\frac{1}{2}$(-4a)2+a•(-4a)+4a=0,
解得a=0或a=-1,
∵a<0,
∴a=-1,
∴拋物線的解析式為y=$\frac{1}{2}$x2-x-4;

(2)設(shè)P(m,$\frac{1}{2}$m2-m-4),過點(diǎn)P作y軸垂線,交AC于點(diǎn)M,
AC的解析式為:y=-2x-4.
①如圖1,P在B、C之間時(shí),即0<m<4,
可得M(-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{2}$m,$\frac{1}{2}$m2-m-4)
∴PM=m-(-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{2}$m)
=$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{2}$m
當(dāng)S△PAC=$\frac{1}{2}$時(shí),
∴$\frac{1}{2}$|PM|×4=$\frac{1}{2}$,
∴(-$\frac{1}{4}$m2+$\frac{1}{2}$m)×4=1,
解得:m=-1±$\sqrt{2}$,
∵0<m<4,
∴m=-1+$\sqrt{2}$,
yP=-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$,故P(-1+$\sqrt{2}$,-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$);

②如圖2,點(diǎn)P在A、C之間時(shí),即-2<m<0,過P作y軸平行線交于AC于D點(diǎn),
∵A(-2,0),C(0,4),
∴直線AC的解析式為y=-2x-4,
∴D(m,-2m-4),
∴PD=-2m-4-($\frac{1}{2}$m2-m-4)=-$\frac{1}{2}$m2-m,
∴S△PAC=$\frac{1}{2}$PD(xC-xA)=-$\frac{1}{2}$m2-m,
∴-$\frac{1}{2}$m2-m=$\frac{1}{2}$,解得m=-1,
∴P(-1,-$\frac{5}{2}$),
綜上,符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè),分別是(-1+$\sqrt{2}$,-$\frac{3}{2}$-2$\sqrt{2}$)或(-1,-$\frac{5}{2}$);

(3)由題意可得:P(m,$\frac{1}{2}$m2-m-4),

①如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在A、C之間時(shí),即-2<m<0,連接AC,
則S四邊形APCB=S△PAC+S△ABC,
由(2)得S△PAC=-$\frac{1}{2}$m2-m,
∵A(-2,0),B(4,0),C(0,-4),
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$AB•CO=12,
∴S=-$\frac{1}{2}$m2-m+12=-$\frac{1}{2}$(m+1)2+$\frac{25}{2}$,
∵-2<m<0,
∴12<S<$\frac{25}{2}$,
此時(shí)當(dāng)12<S<$\frac{25}{2}$,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè);

②如圖4,當(dāng)點(diǎn)在B、C之間時(shí),即0<m<4,連接PA,
則S四邊形APCB=S△PAC+S△APB
由(2)得S△PAC=$\frac{1}{2}$m(m+2),
又S△PAB=$\frac{1}{2}$AB×|yP|,
∵P在第四象限,
∴yP<0,
∴S△PAB=$\frac{1}{2}×$AB×|yP|=$\frac{1}{2}×6$×(-$\frac{1}{2}$m2+m+4),
∴S=S△ACP+S△APB=-m2+4m+12=-(m-2)2+16,
∵0<m<4,12<S<$\frac{25}{2}$,
此時(shí)當(dāng)12<S<16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè),
當(dāng)S=16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有1個(gè),
由①②得:
當(dāng)12<S<$\frac{25}{2}$,對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè);
當(dāng)12<S<16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè),
當(dāng)S=16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有1個(gè);
綜上所述:$\frac{25}{2}$<S<16時(shí),對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P有且只有2個(gè).

點(diǎn)評(píng) 此題主要考查了二次函數(shù)綜合以及二次函數(shù)最值求法以及三角形面積求法等知識(shí),利用數(shù)形結(jié)合以及分類討論得出符合題意的答案是解題關(guān)鍵.

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7.閱讀下面材料,回答問題.
中國自古便有“十天干”與“十二地支”的說法,簡稱“干支”,源于樹木的干和枝.
十天干依次為:甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸;十二地支依次為:子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.
十位天干和十二位地支依次順位相搭配,即:甲子、乙丑、丙寅、丁卯、戊辰、己巳、庚午、辛未、壬申、癸酉、甲戌、乙亥、丙子、丁丑…辛酉、壬戌、癸亥、甲子、乙丑…
后來天干地支被用以記錄時(shí)間,即紀(jì)年、紀(jì)月、紀(jì)日、紀(jì)時(shí),其中紀(jì)年法使用最廣泛,如今我國仍然沿用夏歷(農(nóng)歷)的紀(jì)年方法,即“干支紀(jì)年法”,稱為農(nóng)歷(夏歷)某某干支年(嚴(yán)格說,農(nóng)歷年與公歷年并不完全重合).如公歷2013年是農(nóng)歷癸巳年;再如,今年10月初在我國黃海打撈的致遠(yuǎn)艦遺骸,記載的是歷史上著名的中日甲午海戰(zhàn),發(fā)生于公歷1894年.
十二地支又與十二生肖 依次順位相對(duì)應(yīng):子鼠、丑牛、寅虎、卯兔、辰龍、巳蛇、午馬、未羊、申猴、酉雞、戌狗、亥豬.
根據(jù)以上材料,填空:
(1)十位天干和十二位地支依次順位相搭配,60年為一個(gè)最小循環(huán);
(2)獲得諾貝爾醫(yī)學(xué)獎(jiǎng)的中國科學(xué)家屠呦呦生于公歷1930年12月30日,用干支紀(jì)年法她生于庚午年;
(3)祖沖之(公元429年4月~500年)是中國古代的杰出數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家,他生活在南北朝時(shí)期(公元386~589年),請問他的生肖為蛇.

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