Question

3．如圖，在△ABC中，AM是中線，ME⊥AB，MF⊥AC，垂足分別為E、F，BE=CF．
（1）求證：AM平分∠BAC；
（2）連接EF，猜想EF與BC的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若AB=6cm，EM=2cm，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）欲證明AM平分∠BAC只要證明AB=AC即只要證明∠B=∠C，由△MEB≌△MFC即可得證．
（2）結(jié)論EF∥BC，只要證明∠AEF=∠B，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可證明．
（3）根據(jù)S_△ABC=2S_△ABM=2×$\frac{1}{2}$•AB•EM求解．

解答 （1）證明：∵AM是△ABC中線，
∴BM=MC，
∵M(jìn)E⊥AB，MF⊥AC，
∴∠MEB=∠MFC=90°，
在RT△MEB和RT△MFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{BM=MC}\\{BE=FC}\end{array}\right.$，
∴△MEB≌△MFC，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC，∵AM是中線，
∴AM平分∠BAC．
（2）結(jié)論EF∥BC，理由如下：
證明：∵△MEB≌△MFC，
∴ME=MF，
∵AB=AC，BE=CF，
∴AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵2∠AEF+∠BAC=180°，2∠B+∠BAC=180°，
∴∠AEF=∠B，
∴EF∥BC．
（3）∵AM是中線，
∴S_△ABC=2S_△ABM=2×$\frac{1}{2}$•AB•EM=12．

點(diǎn)評(píng) 本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是利用全等三角形證明△ABC是等腰三角形，屬于中考常考題型．